Induktion komme nicht weiter < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 Mo 11.07.2011 | | Autor: | Fatih17 |
| Aufgabe | Beweisen Sie für dass für alle n element N gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k^{2}} \le [/mm] 2- [mm] \bruch{1}{n} [/mm] |
Hallo,
ich komme beim induktionsschritt nicht weiter, komme bis zu folgendem Bruch:
2- [mm] \bruch{n+(n+1)^{2}}{n*(n+1)^{2}}
[/mm]
Ich muss auf
[mm] 2-\bruch{1}{n+1}
[/mm]
kommen, aber wie?
Danke im voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Mo 11.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie für dass für alle n element N gilt:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k^{2}} \le[/mm] 2- [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
> Hallo,
>
> ich komme beim induktionsschritt nicht weiter, komme bis zu
> folgendem Bruch:
>
> 2- [mm]\bruch{n+(n+1)^{2}}{n*(n+1)^{2}}[/mm]
Ich kann mir vorstellen , wie Du darauf gekommen bist. Du hast aber einen Vorzeichenfehler gemacht.
Also rechne nochmal
FRED
>
> Ich muss auf
>
> [mm]2-\bruch{1}{n+1}[/mm]
>
> kommen, aber wie?
>
> Danke im voraus!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Mo 11.07.2011 | | Autor: | Fatih17 |
Hallo nochmal,
ich kann leider den Vorzeichenfehler nicht entdecken :(
Kannst du mir eventuell einen Tipp geben?
Danke
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Hallo Fatih17,
> Hallo nochmal,
>
> ich kann leider den Vorzeichenfehler nicht entdecken :(
Dann solltest du deine Rechnung posten ...
Wie können dir schlecht über die Schulter gucken:
>
> Kannst du mir eventuell einen Tipp geben?
Vermutlich: [mm]2-\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+1)^2}=2-\left[\frac{1}{n}\red{-}\frac{1}{(n+1)^2}\right][/mm]
> Danke
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Mo 11.07.2011 | | Autor: | Fatih17 |
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{k^{2}} \le 2-\bruch{1}{n+1}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k^{2}}+\bruch{1}{n+1} \le 2-\bruch{1}{n+1}
[/mm]
[mm] 2-\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n+1} \le 2-\bruch{1}{n+1}
[/mm]
joa und weiter weiss ich nicht!
Gruß
Fatih
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Hallo Fatih,
das ist aber ein bisschen kraus.
Du rechnest doch gerade den Induktionsschritt vor, oder?
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{k^{2}} \le 2-\bruch{1}{n+1}[/mm]
Ja, das ist zu zeigen. Das geht z.B., indem Du dies auf eine bekannte Aussage zurückführst, also auf die Aussage für n. Darum geht es bei der Induktion.
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k^{2}}+\bruch{1}{n+1} \le 2-\bruch{1}{n+1}[/mm]
Wenn Du links ein Glied aus der Summe herauslöst, dann auch richtig:
[mm] \left(\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^2}\right)+\bruch{1}{\blue{(}n+1\blue{)^2}}\le 2-\bruch{1}{n+1}
[/mm]
Bisher ist noch nicht passiert, wir haben nichts verwendet, nur die Summe anders geschrieben.
> [mm]2-\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n+1} \le 2-\bruch{1}{n+1}[/mm]
Nein, das geht so nicht. Die Induktionsvoraussetzung war eine Ungleichung, keine Gleichung. Du kannst also nicht einfach die bekannte Summe hier ersetzen!
> joa und weiter weiss ich nicht!
Na, wenn Du die linke Seite Deiner Ungleichung nimmst und die IV verwendest, dann steht da erstmal
[mm] \left(\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^2}\right)+\bruch{1}{(n+1)^2}\blue{\le 2-\bruch{1}{n}}+\bruch{1}{(n+1)^2}
[/mm]
Soviel kann man mit der IV sicher behaupten; der blaue Teil der Ungleichung ist ja gerade die IV, ergänzt um das neu hinzugetretene Glied aus der Summation.
Jetzt nehmen wir noch die rechte Seite von oben dazu:
[mm] \left(\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^2}\right)+\bruch{1}{(n+1)^2}\le 2-\bruch{1}{n}+\bruch{1}{(n+1)^2}\blue{\le}2-\bruch{1}{n+1}
[/mm]
Das ist jetzt eine Ungleichungskette. Zu zeigen ist das rechte (wieder blaue) "kleiner/gleich"-Verhältnis. Wenn das nachzuweisen ist, ist der Induktionsschritt gelungen.
Grüße
reverend
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