Induktion einer REIHE < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Also, es geht darum folgendes zu beweisen
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] 2^{n}
[/mm]
Natürlich soll das Ganze über vollständige Induktion laufen, die ich allerdings nur in einfachen Fällen richtig hinbekomme.
In obigem Beispiel hapert es schon bei dem Induktionsanfang.
Hat man da die Auswahl zwischen verschiedenen N und K´s ? ich wollte es mal mit n=2 und k= 1 versuchen. Da müsste dann ja wohl [mm] 2^2=4 [/mm] rauskommen.
[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] löse ich auf mit der Formel [mm] \bruch{n!}{(n-k)! * k!}
[/mm]
da bekomme ich jetzt 2 raus, das wegen k=1 nur einmal in der der Reihe vorkommt. Stimmt diese Formel jetzt nicht? Habe ich mich verrechnet? Oder verstehe ich das n über k in der reihe allgemein verkehrt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Gleich mal vorweg: das ganze mit Induktion zu zeigen ist recht mühsam und eigentlich nicht zweckmässig da es sich kurz und bündig von rechts nach links direkt zeigen lässt:
[mm] 2^n [/mm] = [mm] (1+1)^n [/mm] und daraus folgt mit dem Binomischen Lehrsatz die Behauptung.
Nun zu deinen Fragen: nein, du darfst k nicht wählen, sondern nur n.
Der Induktionsanfang lautet also:
n:=1
[mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] = 1 + 1 = [mm] 2^1 [/mm] korrekt.
Für den Induktionsschluss wirst du die Identität
[mm] \vektor{n+1 \\ k } [/mm] = [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k+1}
[/mm]
brauchen.
Im Zweifelsfalle nochmal nachfragen, falls es nicht klappt.
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