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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 Do 19.06.2014 | | Autor: | Hero991 |
| Aufgabe | | Sei x <0. Berechnen Sie [mm] \summe_{k=0}^{\infinity} e^{kx} [/mm] |
Hallo,
ich brauche Hilfe bei der Aufgabe. Mir fehlt ein Ansatz oder eine Idee wie da ran gehen könnte. Als Tipp von meinem Tutor habe ich bekommen, dass man sich die Umform-Möglichkeiten angucken soll.
Dass habe ich gemacht aber ich komme da nicht weiter. Also ich kenne folgende Möglichkeiten exp-Funktion umzuformen:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x}{n!} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{x}{n})^{n}=exp(x).
[/mm]
Also Wenn mir jemand bei der Aufgabe helfen könnte, wäre ich echt dankbar :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:09 Do 19.06.2014 | | Autor: | abakus |
> Sei x <0. Berechnen Sie [mm]\summe_{k=0}^{\infinity} e^{kx}[/mm]
>
> Hallo,
> ich brauche Hilfe bei der Aufgabe. Mir fehlt ein Ansatz
> oder eine Idee wie da ran gehen könnte. Als Tipp von
> meinem Tutor habe ich bekommen, dass man sich die
> Umform-Möglichkeiten angucken soll.
> Dass habe ich gemacht aber ich komme da nicht weiter. Also
> ich kenne folgende Möglichkeiten exp-Funktion umzuformen:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x}{n!}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{x}{n})^{n}=exp(x).[/mm]
>
> Also Wenn mir jemand bei der Aufgabe helfen könnte, wäre
> ich echt dankbar :)
Hallo,
es gilt [mm]e^{kx}=(e^x)^k[/mm].
Substituiere [mm]e^x=q[/mm].
Kommt dir [mm]\summe_{k=0}^{\infinity} q^{k}[/mm] bekannt vor?
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Do 19.06.2014 | | Autor: | Hero991 |
Hey :)
ja, dass ist die Geometrische Reihe mit |q|<1, da x<0 gilt [mm] \summe_{k=0}^{\infinity} q^{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-q}.
[/mm]
Könnte man auch sagen: da |q| < 1, konvergiert [mm] q^{k} [/mm] gegen Null also ist [mm] \summe_{k=0}^{\infinity} q^{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-q}=0 [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 Do 19.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Hero,
> ja, dass ist die Geometrische Reihe mit |q|<1, da x<0
> gilt [mm]\summe_{k=0}^{\infinity} q^{k}[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-q}.[/mm]
Was hat das mit [mm] $x<0\$ [/mm] zu tun?
> Könnte man auch sagen: da |q| < 1, konvergiert [mm]q^{k}[/mm] gegen
> Null
Ja, es gilt:
[mm] $\lim_{k\to\infty}q^k=0$ [/mm] für alle [mm] $|q|<1\$.
[/mm]
> also ist [mm]\summe_{k=0}^{\infinity} q^{k}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{1-q}=0[/mm] ?
Nein. Du kommst durcheinander.
Es gilt:
[mm] \sum_{k=0}^{\infty}q^k=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}q^k=\lim_{n\to\infty}\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=\frac{1}{1-q} [/mm] für alle [mm] $|q|<1\$.
[/mm]
Mit
[mm] $1>q:=e^x>0$ [/mm] für alle [mm] $x<0\$
[/mm]
erhalten wir
[mm] \sum_{k=0}^{\infty}e^{kx}=\sum_{k=0}^{\infty}(e^{x})^k=\sum_{k=0}^{\infty}q^k=\frac{1}{1-q}=\frac{1}{1-e^x}=-\frac{1}{e^x-1} [/mm] für alle [mm] $x<0\$.
[/mm]
Falls du etwas nicht verstanden hast, dann zögere bitte
nicht nachzufragen.
Gruß
DieAcht
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