Induktion der Fibonacci Zahlen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Sa 05.01.2008 | | Autor: | n8Mare |
| Aufgabe | a.) [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] F(i) = F(n+2) -1
b.) [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] F(i)² = F(n)F(n+1)
c.) F(n)= |_ [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} (\bruch{1 + \wurzel{5}}{2})^n [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] _| |
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hallo
ich bin in sachen Induktion leider nicht wirklich beschlagen, desswegen bitte ich euch um ein bisschen hilfestellung.
wenn ich richtig vermute muss ich als Induktionsvorraussetzung zwei mal die eins einsetzen um dann rekursiv vorzugehen.
stimmt das? wenn ja wuerde ich gerne wissen was es da zu beachten gilt denn selbst bin ich noch nicht drauf gekommen.
das galt fuer a und b. bei c weiß ich jedoch ueberhaupt nicht was ich machen muss.
Gruß
n8mare
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Sa 05.01.2008 | | Autor: | alexwie |
Hallo n8mare!
Das induktionsprinzip kurz erklärt:
Um zu beweisen dass eine Aussage (nennen wir sie) [mm] $A_{n}$ [/mm] stimmt überprüft man ob die Aussage für ein gewisses n (oft 1 oder 0 muss aber nicht sein) stimmt. Das ist der leichte Teil. Dieser nachweiß heißt oft Induktionsanfang. Um nun zu zeigen dass alle Aussagen [mm] $A_{n}$ [/mm] stimmen nimmt man an (Induktionsbehauptung) [mm] $A_{n}$ [/mm] sei wahr und folgert daraus dass auch [mm] $A_{n+1}$ [/mm] wahr ist.
Am Beispiel der Aufgabe a):
Induktionsanfang:
$n=1$
[mm] $\summe_{i=1}^{1}F(i)=F(1)=1=2-1=F(1+2)-1$
[/mm]
Also stimmt die Aussage für n=1
Induktionsbehauptung:
[mm] $\summe_{i=1}^{n}F(i)=F(n+2)-1$
[/mm]
nehmen wir als wahr an
Induktionsschluss:
[mm] $\summe_{i=1}^{n+1}F(i)=F(n+3)-1$ [/mm] ist zu zeigen
es gilt:
$F(n+3) - 1 [mm] =\underbrace{ F(n+2) - 1 }_{=\summe_{i=1}^{n}F(i) laut Induk. Behauptung}+F(n+1)=\summe_{i=1}^{n}F(i)+F(n+1)=\summe_{i=1}^{n+1}F(i)$
[/mm]
was zu zeigen war. Wir haben also unter der Vorraussetzung dass die Induktionsbehautung stimmt gezeigt dass Der induktionsschluss stimmt.
Wenn also die Aussage für n=1 gilt dann auch für n=2 und dann auch für n=3 und dann auch für n=4 .........
Ich hoffe ich konnte dir helfen
Lg Alex
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:56 Sa 05.01.2008 | | Autor: | n8Mare |
hmm ok
aber wie ist das bei c?
Was muss ich da beruecksichtigen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:49 So 06.01.2008 | | Autor: | n8Mare |
ja vielen Dank
ich habs denk ich verstanden
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Du weißt, dass F(n+2)=F(n+1)+F(n)ist und kennst F(0) und F(1) (oder F(1) und F(2)).
Zunächst zeigst du, dass die Formel für F(0) und F(1) gilt (oder F(1) und F(2)).
Dann gehst du davon aus, dass sie bis F(n+1) gilt ( also für F(n) und F(n+1)). Nun berechnest du F(n+2)=F(n+1)+F(n) mit Hilfe der beiden Formeln für F(n+1) und F(n), wobei du dann die entsprechende Formel für F(n+2) erhältst.
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