Induktion bei Summen (2) < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Di 11.11.2008 | | Autor: | jos3n |
| Aufgabe | [mm] (\summe_{i=1}^{n} a_{i}b_{i})² \le (\summe_{i=1}^{n} a_{i}²)*(\summe_{i=1}^{n} b_{i}²)
[/mm]
Beweise mit vollst. Induktion! |
ganz normal I.A.: n=1
[mm] \Rightarrow (a_{1}b_{1})² \le a_{1}²a_{1}²
[/mm]
was ja wohl stimmt.
dann der schritt: n [mm] \to [/mm] n+1
ich hab dann nach einigen Umformungen:
[mm] 2a_{n+1}b_{n+1}\summe_{i=1}^{n} a_{i}b_{i} \le a_{n+1}²\summe_{i=1}^{n} b_{i}² [/mm] + [mm] b_{n+1}²\summe_{i=1}^{n} a_{i}²
[/mm]
jetzt komm ich nicht mehr weiter. Würde mich ueber Hilfe sehr freuen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Deine Umwandlungen sind korrekt. Deine angegebene Ungleichung ist die, die noch zu beweisen ist.
Die rechte Seite ist als Summe von Quadraten stets größer gleich 0. Wäre die linke Seite negativ, so wären wir fertig. Also müssen wir den Fall betrachten, dass die linke Seite ebenfalls größer gleich 0 ist. Aber dann ist Quadrieren bzw. Wurzelziehen bijektiv. Also versuche diese Ungleichung zu beweisen, die nach Quadrieren entsteht.
Tipp: Zweite binomische Formel und Induktionsvoraussetzung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Mi 12.11.2008 | | Autor: | jos3n |
bekomm ich nicht hin!
ich hab da nu
[mm] 2a_{n+1}²b_{n+1}²(\summe_{i=1}^{n} a_{i}b_{i})² \le a_{n+1}^{4}\summe_{i=1}^{n} b_{i}^{4} [/mm] + [mm] b_{n+1}^{4}\summe_{i=1}^{n}a_{i}^{4}
[/mm]
kann damit aber nix anfangen in bezug auf die I.V.
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Beim Quadrieren sind dir massive Fehler unterlaufen.
Es gilt allgemein:
0 [mm] \le (a_{n+1}^{2} [/mm] * [mm] \summe_{i=1}^{n}b_{i}^{2} [/mm] - [mm] b_{n+1}^{2} [/mm] * [mm] \summe_{i=1}^{n}a_{i}^{2})^{2}
[/mm]
weil die rechte Seite eine Quadratzahl ist.
Quadriere die rechte Seite aus und benutze die zweite binomische Formel: [mm] (x-y)^{2} [/mm] = [mm] x^{2}-2*x*y+y^{2}
[/mm]
Beachte, dass es Summen sind! Also: [mm] (a_{n+1}^{2} [/mm] * [mm] \summe_{i=1}^{n}b_{i}^{2})^{2} \not= a_{n+1}^{4} [/mm] * [mm] \summe_{i=1}^{n}b_{i}^{4} [/mm] (Oh, welch ein Graus!)
Auch hier wieder binomische Formeln verwenden, falls überhaupt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:06 Do 13.11.2008 | | Autor: | jos3n |
jo alles klar. danke schön!
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