Induktion Summe Kubikzahlen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 So 13.03.2011 | | Autor: | racy90 |
Hallo,
Bei einen Übungsbsp verwirrt mich etwas die Angabe
Ich soll die Gaußsche Summenformel benutzen um die mit Induktion das hier nachzuweisen:
[mm] 1^3+2^3+3^3+.....+n^3=(1+2+3+...+n)^2 [/mm] Links wäre es die Summe der Kubikzahlen aber rechts??
Die Summe der Kubikzahlen schaut doch so aus oder : [mm] 1^3+2^3+3^3+.....+n^3=(\bruch{n(n+1)}{2})^2
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:51 So 13.03.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo racy!
Deine angegebene Formel ist hier nicht erforderlich. Du sollst vielmehr verwenden, dass gilt:
$1+2+3+...+n \ = \ [mm] \summe_{k=1}^n [/mm] k \ = \ [mm] \bruch{n*(n+1)}{2}$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 So 13.03.2011 | | Autor: | racy90 |
Ja das war mir klar,das ich die Summenformel verwenden muss .Aber wie soll ich mit der Summenformel ,die Gültigkeit von [mm] 1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+..+n)^2 [/mm] nachweisen??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:58 So 13.03.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Durch vollständige Induktion zum Beispiel ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Hi racy,
> Ja das war mir klar,das ich die Summenformel verwenden muss
> .Aber wie soll ich mit der Summenformel ,die Gültigkeit
> von [mm]1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+..+n)^2[/mm] nachweisen??
Du hast es doch bereits getan, indem du auf der rechten Seite den "kleinen Gauß" eingesetzt hast:
[mm] \qquad [/mm] $ [mm] 1^3+2^3+3^3+.....+n^3=\left(\bruch{n(n+1)}{2}\right)^2 [/mm] $
Zeige diese Aussage nun mit Induktion.
Oder direkter im IS:
[mm] \sum_{i=1}^{n+1}i^3=\sum_{i=1}^{n}i^3+(n+1)^3=(1+2+3+..+n)^2+(n+1)^3=\ldots=(1+2+3+..+n+[n+1])^2
[/mm]
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 So 13.03.2011 | | Autor: | racy90 |
auf der linken seite habe ich ja dann:
[mm] n^3+(n+1)^3 [/mm] da [mm] n^3=(1+2+3+...+n)^2 [/mm] ist kann ich das ja ersetzen
also : [mm] n^2+(n+1)^3
[/mm]
wenn ich das nun auflöse komm ich auf [mm] n^3+4n^2+3n+1, [/mm] irgendwie scheint mir das nicht richtig ,was ich hier tue
|
|
|
| |
|
> auf der linken seite habe ich ja dann:
>
> [mm]n^3+(n+1)^3[/mm] da [mm]n^3=(1+2+3+...+n)^2[/mm] ist kann ich das ja ersetzen
Was machst du hier? Wo sind denn auf einmal die Summen hin?
Schreib doch erstmal die Aussage für n+1 hin, was willst du denn zeigen?
>
> also : [mm]n^2+(n+1)^3[/mm]
>
> wenn ich das nun auflöse komm ich auf [mm]n^3+4n^2+3n+1,[/mm]
> irgendwie scheint mir das nicht richtig ,was ich hier tue
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 So 13.03.2011 | | Autor: | racy90 |
also das möcht ich zeigen:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1}i^3+(n+1)^3=(1+2+3+...+n)^2+(n+1)^3
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:27 So 13.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, das willst du nicht zeigen, sondern wenn die formel fuer n gilt dann auch fuer n+1
also schreib beide Seiten fuer n+1 hin, erst dann geh ans beweisen.
hast du deinen Fehler oben gesehen?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 So 13.03.2011 | | Autor: | racy90 |
Also für n+1 müsste es doch so auschauen
[mm] 1^3+2^3+3^3+...+n^3+(n+1)^3=(1+2+3+...+n)^2+(n+1)^3
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 So 13.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ist nicht die formel, die du zeigen willst sondern ein Schritt in der Induktion
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
> Also für n+1 müsste es doch so auschauen
>
> [mm]1^3+2^3+3^3+...+n^3+(n+1)^3=(1+2+3+...+n)^2+(n+1)^3[/mm]
Zu zeigen ist im Induktionsschritt:
[mm] \qquad $1^3+2^3+3^3+...+n^3+(n+1)^3=(1+2+3+...+n+[n+1])^2$
[/mm]
bzw. mit dem Summenformelzeichen
[mm] \qquad $\sum_{i=1}^{n+1}i^3=\left(\sum_{i=1}^{n+1}i\right)^2$
[/mm]
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:41 So 13.03.2011 | | Autor: | racy90 |
Ich formulier es mathematisch wahrscheinlich nicht richtig aber ich hab mit meinen Post dasselbe gemeint wie kamaleonti
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:37 So 13.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
dann schreib noch die Formel fuer [mm] (1+2+...n)^2 [/mm] hin und die fuer [mm] (1+2+...n+n+1)^2 [/mm] hin und versuch das zu verifizieren. dazu musst du [mm] (n+1)^3 [/mm] ausmult.
Grus leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 So 13.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast [mm] (1+2+..+n)^2 [/mm] falsch, naemlich einfach durch [mm] n^2 [/mm] ersetzt, da kann ja nix rauskommen.
Schreib erst hin, was du als Endformel erwartest, dann setz richtig ein und bestaetige.
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:26 So 13.03.2011 | | Autor: | racy90 |
[mm] \summe_{i=1}^{n+1}i^3=\summe_{i=1}^{n}i^3+(n+1)^3
[/mm]
das stimmt im vorigen Post nicht!
|
|
|
|
