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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:43 Do 10.02.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | [mm] $\produkt_{k=1}^{n-1}(1+\frac{1}{k})^{k}=\frac{n^{n}}{n!}$ [/mm] |
Hallo,
Induktionsanfang:
Einsetzen von n=2 gibt 2=2.
[mm] $n\rightarrow [/mm] n+1$:
[mm] $\produkt_{k=1}^{n-1}(1+\frac{1}{k})^{k}\cdot (1+\frac{1}{n})^{n}=\frac{(n+1)^{(n+1)}}{(n+1)!}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \frac{n^{n}}{n!}\cdot (1+\frac{1}{n})^{n}= \frac{(n+1)^{n}(n+1)}{n!(n+1)}
[/mm]
[mm] \Rightarrow n^{n}\cdot(1+\frac{1}{n})^{n}=(n+1)^{n}$
[/mm]
Das stimmt aber nicht, denn sonst könnte ich ja die Wurzel ziehen und dann kommt raus [mm] $n^{2}+1=n+1$ [/mm]
Was habe ich hier falsch gemacht?
Danke und Gruss
kushkush
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Hallo kushkush,
> [mm]\produkt_{k=1}^{n-1}(1+\frac{1}{k})^{k}=\frac{n^{n}}{n!}[/mm]
> Hallo,
>
>
> Induktionsanfang:
>
> Einsetzen von n=2 gibt 2=2.
>
>
> [mm]n\rightarrow n+1[/mm]:
>
> [mm]$\produkt_{k=1}^{n-1}(1+\frac{1}{k})^{k}\cdot (1+\frac{1}{n})^{n}=\frac{(n+1)^{(n+1)}}{(n+1)!}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \frac{n^{n}}{n!}\cdot (1+\frac{1}{n})^{n}= \frac{(n+1)^{n}(n+1)}{n!(n+1)}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow n^{n}\cdot(1+\frac{1}{n})^{n}=(n+1)^{n}$[/mm]
Bis hierhin korrekt!
> Das stimmt aber nicht, denn sonst könnte ich ja die Wurzel
> ziehen und dann kommt raus [mm]n^{2}+1=n+1[/mm]
>
> Was habe ich hier falsch gemacht?
Du hast wohl einen Fehler beim Ausmultiplizieren nach dem "Wurzelziehen" gemacht... Das klappt nämlich schon. Du kannst dir das Wurzelziehen aber ohnehin sparen, wenn du die linke Seite zusammenfässt, also den Exponenten "ausklammerst" (Potenzgesetz: Potenzen mit gleichem Exponenten multiplizieren, indem die (untersch.) Basen multipl. werden und der gemeinsame Exponent beibehalten wird.). So erhälst du wunderbar die rechte Seite [mm] (n+1)^{n}. [/mm] Das Ausmultiplizieren bleibt die gleiche "Schwierigkeit"! --> [mm] n*(1+\bruch{1}{n})=?
[/mm]
Also prinzipiell hast du eigentlich alles richtig gemacht!;)
MfG,
MaTEEler
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:00 Do 10.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo MaTEEler,
Danke!
Gruss
kushkush
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