Induktion: Fibonacci explizit < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Fibonacci-Zahlen sind durch [mm]f_{0} := 1[/mm] und [mm]f_{1} := 1[/mm] und [mm]f_{n+1} := f_{n} + f_{n-1}[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm] mit [mm]n \geq 1[/mm] rekursiv definiert.
Zeigen oder widerlegen Sie, dass für alle [mm]n\in\IN[/mm] gilt:
[mm]f_{n} = \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^n - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^n)[/mm] |
Da es sich hierbei um eine Übungsaufgabe zur vollständigen Induktion handeln soll, wende ich diese auch an.
Leider stecke ich im Moment im Induktionsschritt beim Umformen der Gleichung fest – es wäre super, wenn Ihr mir da weiterhelfen könntet. (Um sicherzugehen, dass ich vorher keinen Fehler gemacht habe, poste ich aber auch den gesamten Rest meines Lösungsansatzes)
Induktionsanfang
sei n = 1
[mm]f_{1} = \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2}) - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})) = \bruch{1}{\wurzel{5}} * \bruch{20}{4} = 1[/mm]
richtig, da per Definition gilt:
[mm]f_{1+1} := f_{1} + f_{1-1} = 1+0 = 1[/mm]
Induktionsvoraussetzung
[mm]\forall n \in \IN \mbox{ mit } n \geq 1 : f_{0} := 0, f_{1} := 1, f_{n+1} := f_{n+1} := f_{n} + f_{n-1}[/mm]
[mm]\forall n \in \IN : f_{n} = \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^n - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^n)[/mm]
Induktionsschritt
[mm]n \to n+1[/mm]
[mm]f_{n+1} = f_{n} + f_{n-1} = \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^n - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^n) + \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-1} - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n-1})[/mm]
[mm]f_{n+1} = f_{n} + f_{n-1} = \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^n - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^n + (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-1} - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n-1})[/mm]
An dieser Stelle stecke ich nun fest. Was mein Ziel ist, weiß ich ja:
[mm]f_{n+1} = f_{n} + f_{n-1} = \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n+1} - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n+1})[/mm]
Wer hat einen Tipp für mich: Wie komme ich hier weiter?
Danke für Eure Hilfe!
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Hallo Apfelchips,
da braucht man eigentlich keinen wirklichen Rechentrick.
> Die Fibonacci-Zahlen sind durch [mm]f_{0} := 1[/mm] und [mm]f_{1} := 1[/mm]
> und [mm]f_{n+1} := f_{n} + f_{n-1}[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm] mit [mm]n \geq 1[/mm]
> rekursiv definiert.
> Zeigen oder widerlegen Sie, dass für alle [mm]n\in\IN[/mm] gilt:
>
> [mm]f_{n} = \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^n - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^n)[/mm]
>
>
> Da es sich hierbei um eine Übungsaufgabe zur
> vollständigen Induktion handeln soll, wende ich diese auch
> an.
Gute Idee. 
> Leider stecke ich im Moment im Induktionsschritt beim
> Umformen der Gleichung fest – es wäre super, wenn Ihr
> mir da weiterhelfen könntet. (Um sicherzugehen, dass ich
> vorher keinen Fehler gemacht habe, poste ich aber auch den
> gesamten Rest meines Lösungsansatzes)
>
>
> Induktionsanfang
> sei n = 1
>
> [mm]f_{1} = \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2}) - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})) = \bruch{1}{\wurzel{5}} * \bruch{20}{4} = 1[/mm]
Wo kommen denn die [mm] \tfrac{20}{4} [/mm] her? Ich hätte da [mm] \tfrac{\wurzel{5}+\wurzel{5}}{2} [/mm] erwartet.
> richtig, da per Definition gilt:
> [mm]f_{1+1} := f_{1} + f_{1-1} = 1+0 = 1[/mm]
Bei den Fibonaccizahlen muss man bei der vollständigen Induktion allerdings den Induktionsanfang mit zwei aufeinanderfolgenden Zahlen machen. Hier würde ich [mm] f_0 [/mm] empfehlen, das ist einfach.
Sonst funktioniert ja Deine Induktionsannahme nicht, da Du [mm] f_{n+1} [/mm] nur aus [mm] f_n [/mm] und [mm] f_{n-1} [/mm] folgern kannst.
> Induktionsvoraussetzung
>
> [mm]\forall n \in \IN \mbox{ mit } n \geq 1 : f_{0} := 0, f_{1} := 1, f_{n+1} := f_{n+1} := f_{n} + f_{n-1}[/mm]
>
> [mm]\forall n \in \IN : f_{n} = \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^n - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^n)[/mm]
>
>
> Induktionsschritt
>
> [mm]n \to n+1[/mm]
>
> [mm]f_{n+1} = f_{n} + f_{n-1} = \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^n - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^n) + \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-1} - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n-1})[/mm]
>
> (*) [mm]f_{n+1} = f_{n} + f_{n-1} = \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^n - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^n + (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-1} - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n-1})[/mm]
>
>
> An dieser Stelle stecke ich nun fest. Was mein Ziel ist,
> weiß ich ja:
>
> [mm]f_{n+1} = f_{n} + f_{n-1} = \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n+1} - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n+1})[/mm]
>
> Wer hat einen Tipp für mich: Wie komme ich hier weiter?
Es ist [mm] \left(\bruch{1\pm\wurzel{5}}{2}\right)^2=\bruch{3\pm\wurzel{5}}{2}=1+\bruch{1\pm\wurzel{5}}{2}
[/mm]
Wenn Du jetzt oben bei (*) entsprechend ausklammerst, bist Du schnell am Ziel.
> Danke für Eure Hilfe!
Grüße
reverend
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Danke für Deine Hilfe, reverend!
> > Induktionsanfang
> > sei n = 1
> >
> > [mm]f_{1} = \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2}) - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})) = \bruch{1}{\wurzel{5}} * \bruch{20}{4} = 1[/mm]
>
> Wo kommen denn die [mm]\tfrac{20}{4}[/mm] her? Ich hätte da
> [mm]\tfrac{\wurzel{5}+\wurzel{5}}{2}[/mm] erwartet.
Das stimmt (natürlich). Korrekt sollte der Rechenweg lauten:
[mm]f_{1} = \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2}) - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2}))[/mm]
[mm]= \bruch{1}{\wurzel{5}} * \bruch{2\wurzel{5}}{2}[/mm] (dann [mm]()^2[/mm] auf beide Elemente anwenden um die böse Quadratwurzel zu erledigen)
[mm]= \bruch{1}{5} * \bruch{20}{4} = 1[/mm]
> > richtig, da per Definition gilt:
> > [mm]f_{1+1} := f_{1} + f_{1-1} = 1+0 = 1[/mm]
>
> Bei den Fibonaccizahlen muss man bei der vollständigen
> Induktion allerdings den Induktionsanfang mit zwei
> aufeinanderfolgenden Zahlen machen. Hier würde ich [mm]f_0[/mm]
> empfehlen, das ist einfach.
> Sonst funktioniert ja Deine Induktionsannahme nicht, da Du
> [mm]f_{n+1}[/mm] nur aus [mm]f_n[/mm] und [mm]f_{n-1}[/mm] folgern kannst.
Okay, das sehe ich ein.
Also gilt zusätzlich noch (sehr ausführlich):
[mm]f_{0} = \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^0 - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^0) = \bruch{1}{\wurzel{5}} * (1-1) = \bruch{1}{\wurzel{5}} * 0 = 0[/mm]
Das ist richtig, da [mm]f_{0} := 0[/mm]
> > Induktionsschritt
> >
> >
> > An dieser Stelle stecke ich nun fest. Was mein Ziel ist,
> > weiß ich ja:
> >
> > [mm]f_{n+1} = f_{n} + f_{n-1} = \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n+1} - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n+1})[/mm]
> >
> > Wer hat einen Tipp für mich: Wie komme ich hier weiter?
>
> Es ist
> [mm]\left(\bruch{1\pm\wurzel{5}}{2}\right)^2=\bruch{3\pm\wurzel{5}}{2}=1+\bruch{1\pm\wurzel{5}}{2}[/mm]
Danke! Darauf wäre ich alleine niemals gekommen – jetzt sieht der restliche Lösungsweg schon wesentlich einfacher aus …
> Wenn Du jetzt oben bei (*) entsprechend ausklammerst, bist
> Du schnell am Ziel.
Und zwar so:
[mm]f_{n+1} = f_{n} + f_{n-1} = \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^n - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^n + (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-1} - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n-1})[/mm]
[mm]= \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-1} * (1 + \bruch{1+\wurzel{5}}{2}) - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n-1} * (1 + \bruch{1-\wurzel{5}}{2}))[/mm]
[mm]= \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-1} * (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^2 - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n-1} * (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^2)[/mm]
[mm]= \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n+1} - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n+1})[/mm]
Richtig?
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Hallo nochmal,
vorab: alles richtig. Trotzdem wenige Kommentare:
> Danke für Deine Hilfe, reverend!
Diese Quadratur muss man einmal gesehen haben. Diesen Trick braucht man häufiger. Irgendwie begegnet einem der goldene Schnitt immer wieder an unerwarteten Ecken - und da kommt genau dieser Rechenschritt in immer neuen Varianten immer wieder vor. Also einmal merken: da war was mit dem Quadrieren. Dann kann man es selbst leicht rekonstruieren.
> > > Induktionsanfang
> > > sei n = 1
> > >
> > > [mm]f_{1} = \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2}) - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})) = \bruch{1}{\wurzel{5}} * \bruch{20}{4} = 1[/mm]
>
> >
> > Wo kommen denn die [mm]\tfrac{20}{4}[/mm] her? Ich hätte da
> > [mm]\tfrac{\wurzel{5}+\wurzel{5}}{2}[/mm] erwartet.
>
> Das stimmt (natürlich). Korrekt sollte der Rechenweg
> lauten:
>
> [mm]f_{1} = \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2}) - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2}))[/mm]
>
> [mm]= \bruch{1}{\wurzel{5}} * \bruch{2\wurzel{5}}{2}[/mm] (dann [mm]()^2[/mm]
> auf beide Elemente anwenden um die böse Quadratwurzel zu
> erledigen)
Die böse Wurzel darfst Du hier einfach kürzen, ganz ohne zu quadrieren.
> [mm]= \bruch{1}{5} * \bruch{20}{4} = 1[/mm]
>
>
> > > richtig, da per Definition gilt:
> > > [mm]f_{1+1} := f_{1} + f_{1-1} = 1+0 = 1[/mm]
> >
> > Bei den Fibonaccizahlen muss man bei der vollständigen
> > Induktion allerdings den Induktionsanfang mit zwei
> > aufeinanderfolgenden Zahlen machen. Hier würde ich [mm]f_0[/mm]
> > empfehlen, das ist einfach.
> > Sonst funktioniert ja Deine Induktionsannahme nicht, da
> Du
> > [mm]f_{n+1}[/mm] nur aus [mm]f_n[/mm] und [mm]f_{n-1}[/mm] folgern kannst.
>
> Okay, das sehe ich ein.
> Also gilt zusätzlich noch (sehr ausführlich):
>
> [mm]f_{0} = \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^0 - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^0) = \bruch{1}{\wurzel{5}} * (1-1) = \bruch{1}{\wurzel{5}} * 0 = 0[/mm]
>
> Das ist richtig, da [mm]f_{0} := 0[/mm]
Ok. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > > Induktionsschritt
> > >
> > >
> > > An dieser Stelle stecke ich nun fest. Was mein Ziel ist,
> > > weiß ich ja:
> > >
> > > [mm]f_{n+1} = f_{n} + f_{n-1} = \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n+1} - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n+1})[/mm]
> > >
> > > Wer hat einen Tipp für mich: Wie komme ich hier weiter?
> >
> > Es ist
> >
> [mm]\left(\bruch{1\pm\wurzel{5}}{2}\right)^2=\bruch{3\pm\wurzel{5}}{2}=1+\bruch{1\pm\wurzel{5}}{2}[/mm]
>
> Danke! Darauf wäre ich alleine niemals gekommen – jetzt
> sieht der restliche Lösungsweg schon wesentlich einfacher
> aus …
>
>
> > Wenn Du jetzt oben bei (*) entsprechend ausklammerst, bist
> > Du schnell am Ziel.
>
> Und zwar so:
>
> [mm]f_{n+1} = f_{n} + f_{n-1} = \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^n - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^n + (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-1} - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n-1})[/mm]
>
> [mm]= \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-1} * (1 + \bruch{1+\wurzel{5}}{2}) - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n-1} * (1 + \bruch{1-\wurzel{5}}{2}))[/mm]
>
> [mm]= \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-1} * (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^2 - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n-1} * (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^2)[/mm]
>
> [mm]= \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n+1} - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n+1})[/mm]
>
> Richtig?
Ja, vollkommen. Aber warst Du Dir da noch so unsicher, dass Du diese Riesen-Tipparbeit machen musstest? Ein bewundernswerter Aufwand. Sonst hätte ja auch gereicht: "Damit habe ichs hinbekommen" oder so.
Kürzlich gab es hier übrigens eine Induktionsaufgabe zu einer ganz anderen expliziten Darstellung der Fibonaccizahlen, die ich noch gar nicht kannte.
Wenn Du also noch eine Zusatzaufgabe brauchst: hier. Dort ist die Aufgabe noch nicht gelöst, ihre Schwierigkeit liegt in der geschickten Umformung von Binomialkoeffizienten, also insofern ein ganz anderes Feld.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:52 Sa 13.10.2012 | | Autor: | Apfelchips |
> Diese Quadratur muss man einmal gesehen haben. Diesen Trick
> braucht man häufiger. Irgendwie begegnet einem der goldene
> Schnitt immer wieder an unerwarteten Ecken - und da kommt
> genau dieser Rechenschritt in immer neuen Varianten immer
> wieder vor. Also einmal merken: da war was mit dem
> Quadrieren. Dann kann man es selbst leicht rekonstruieren.
Danke, das werde ich mir merken.
> > [mm]= \bruch{1}{\wurzel{5}} * \bruch{2\wurzel{5}}{2}[/mm] (dann [mm]()^2[/mm]
> > auf beide Elemente anwenden um die böse Quadratwurzel zu
> > erledigen)
>
> Die böse Wurzel darfst Du hier einfach kürzen, ganz ohne
> zu quadrieren.
Autsch – stimmt, na klar.
Warum einfach, wenn's auch kompliziert geht?
> >
> > Richtig?
>
> Ja, vollkommen. Aber warst Du Dir da noch so unsicher, dass
> Du diese Riesen-Tipparbeit machen musstest? Ein
> bewundernswerter Aufwand. Sonst hätte ja auch gereicht:
> "Damit habe ichs hinbekommen" oder so.
Wenn ich als Leser in Foren unterwegs bin dann find ich's immer super, wenn Antworten ausführlich genug sind, um von (so gut wie) jedem verstanden zu werden. Daher handhabe ich das auch so, wenn ich selbst aktiv in Foren unterwegs bin. Da kommt meine soziale Ader zum Vorschein.
> Kürzlich gab es hier übrigens eine Induktionsaufgabe zu
> einer ganz anderen expliziten Darstellung der
> Fibonaccizahlen, die ich noch gar nicht kannte.
> Wenn Du also noch eine Zusatzaufgabe brauchst:
> hier. Dort ist die
> Aufgabe noch nicht gelöst, ihre Schwierigkeit liegt in der
> geschickten Umformung von Binomialkoeffizienten, also
> insofern ein ganz anderes Feld.
Danke für den Tipp. Ich hab mir den Link mal gespeichert. 
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> > [mm]f_{n+1} = f_{n} + f_{n-1} = \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^n - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^n + (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-1} - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n-1})[/mm]
>
> >
> > [mm]= \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-1} * (1 + \bruch{1+\wurzel{5}}{2}) - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n-1} * (1 + \bruch{1-\wurzel{5}}{2}))[/mm]
>
> >
> > [mm]= \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-1} * (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^2 - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n-1} * (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^2)[/mm]
>
> >
> > [mm]= \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n+1} - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n+1})[/mm]
Wie kommt man vom 1. Term zum zweiten? Also dass das hoch n verschwindet und das Mal-Zeichen da plötzlich steht?
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Hallo MatheDell,
> > > [mm]f_{n+1} = f_{n} + f_{n-1} = \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^n - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^n + (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-1} - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n-1})[/mm]
> >
> > >
> > > [mm]%3D%20%5Cbruch%7B1%7D%7B%5Cwurzel%7B5%7D%7D((%5Cbruch%7B1%2B%5Cwurzel%7B5%7D%7D%7B2%7D)%5E%7Bn-1%7D%20*%20(1%20%2B%20%5Cbruch%7B1%2B%5Cwurzel%7B5%7D%7D%7B2%7D)%20-%20(%5Cbruch%7B1-%5Cwurzel%7B5%7D%7D%7B2%7D)%5E%7Bn-1%7D%20*%20(1%20%2B%20%5Cbruch%7B1-%5Cwurzel%7B5%7D%7D%7B2%7D))[/mm]
> >
> > >
> > > [mm]= \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-1} * (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^2 - (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n-1} * (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^2)[/mm]
> >
> > >
> > > [mm]%3D%20%20%5Cbruch%7B1%7D%7B%5Cwurzel%7B5%7D%7D((%5Cbruch%7B1%2B%5Cwurzel%7B5%7D%7D%7B2%7D)%5E%7Bn%2B1%7D%20-%20(%5Cbruch%7B1-%5Cwurzel%7B5%7D%7D%7B2%7D)%5E%7Bn%2B1%7D)[/mm]
>
> Wie kommt man vom 1. Term zum zweiten? Also dass das hoch n
> verschwindet und das Mal-Zeichen da plötzlich steht?
In der "großen" Klammer stehen vier Terme. Hier sind der erste und dritte zusammengefasst worden, ebenso der zweite und vierte.
Ansonsten: Potenzgesetze (hier [mm] $a^n=a^{n-1}*a$) [/mm] und Distributivgesetz $(xy+xz)=x(y+z)$.
Am Beispiel des ersten und dritten Terms:
[mm] \left(\bruch{1+\wurzel{5}}{2}\right)^n+\left(\bruch{1+\wurzel{5}}{2}\right)^{n-1}=\left(\bruch{1+\wurzel{5}}{2}\right)^{n-1}*\left(\bruch{1+\wurzel{5}}{2}\right)+\left(\bruch{1+\wurzel{5}}{2}\right)^{n-1}*1=\left(\bruch{1+\wurzel{5}}{2}\right)^{n-1}*\left(\bruch{1+\wurzel{5}}{2}+1\right)
[/mm]
Entsprechend dann bei den andern beiden Termen.
Grüße
reverend
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