Induktion1 < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:46 Mi 16.11.2016 | | Autor: | b.reis |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass für alle [mm] x\in\IR [/mm] , x [mm] \ge [/mm] -1 und für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt: [mm] (1+x)^n \ge [/mm] 1+nx |
Hallo
ich bin mir nicht ganz sicher wie ich an diese Aufgabe heran gehen soll.
Hier meine Ansätze:
[mm] (1+x)^{n+1} \ge [/mm] 1+(n+1)x
=
[mm] (1+x)^{n}* [/mm] (1+x) [mm] \ge [/mm] 1+nx+x
hier kann ich nichts mehr tun und außerdem habe ich die Induktion für alle x .... nicht mit berücksichtigt
wenn ich das mache dann sieht das ganze so aus:
[mm] (1+(x+1))^{n}* [/mm] (1+(x+1)) [mm] \ge [/mm] 1+n(x+1)+(x+1)
=
[mm] (2+x)^n [/mm] * (2+x) [mm] \ge [/mm] 1+nx+n+x+1
=
[mm] (2+x)^n [/mm] * (2+x) [mm] \ge [/mm] 2+2nx
Vielleicht müsste auch eine Fallunterscheidung für das x gemacht werden, aber ich wollte erstmal fragen ob mein Ansatz richtig ist und ob es für einen meiner Ansätze noch eine Lösung gibt.
Vielen Dank
Benni
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Mi 16.11.2016 | | Autor: | fred97 |
Du bist auf dem falschen Dampfer !
x ist fest und [mm] \ge [/mm] 1. Zeigen sollst Du:
[mm] (1+x)^n \ge [/mm] 1+nx für jedes n [mm] \in \IN.
[/mm]
Bewiesen wird das mit Induktion nach n.
Der Induktionsanfang, also der Fall n=1, ist klar.
Induktionsvoraussetzung: sei n [mm] \in \IN [/mm] und (*) [mm] (1+x)^n \ge [/mm] 1+nx.
n [mm] \to [/mm] n+1: wenn wir (*) mit x+1 multiplizieren , bekommen wir
[mm] (1+x)^{n+1} \ge [/mm] (1+nx)(1+x),
beachte, dass x [mm] \ge [/mm] 1, also x+1 [mm] \ge [/mm] 0 ist !
Es folgt:
[mm] (1+x)^{n+1} \ge (1+nx)(1+x)=1+x+nx+nx^2.
[/mm]
Da [mm] nx^2 \ge [/mm] 0, liefert dies
[mm] (1+x)^{n+1} \ge [/mm] 1+nx+x=1+(n+1)x.
>
> Vielen Dank
>
> Benni
|
|
|
|
