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| Aufgabe | | [mm] H_k [/mm] = 1 + [mm] \bruch{1}{2} +...+\bruch{1}{k} [/mm] heißt k-te Harmonische Zahl. Beweisen Sie induktiv , dass für n [mm] \ge [/mm] 0 : [mm] H_{2^{n}} \le [/mm] 1+n |
Hallo,
ich bin wie folgt vorgegangen:
Induktionsanker: [mm] H_{2^{0}} \le [/mm] 1+0
= [mm] H_1 \le [/mm] 1 + 0
Induktionsvoraussetzung: Es gilt [mm] H_{2^{n}} \le [/mm] 1+n für [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
Induktionsschritt:
[mm] H_{2^{n+1}} [/mm] = [mm] \underbrace{1 + \bruch{1}{2}+..+\bruch{1}{2^{n}}}_{= nach IV} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^{n}+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^{n+1}}
[/mm]
= [mm] H_{2^{n}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^{n}+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^{n+1}}
[/mm]
[mm] \le [/mm] (1+n) +.............
Ab hier weiß ich nicht mehr weiter , ich will auf [mm] \le [/mm] (1+(n+1)) kommen , wie mache ich weiter ?
Vielen Dank im Voraus
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Hallo,
du hast den Induktionsschluss völlig falsch durchgeführt. Da man
[mm] H_{2^n}
[/mm]
betrachtet, kommt beim Schritt n->(n+1) insgesamt die Summe
[mm] \sum_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}= \frac{1}{2^n+1}+ \frac{1}{2^n+2}+...+ \frac{1}{2^{n+1}}
[/mm]
dazu. Das ganze muss dann kleiner gleich 1+(n+1)=2+n sein. Du musst also zeigen dass die hinzugekommenen Summanden insgesamt kleiner gleich 1 sind.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:36 Sa 07.12.2013 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar , vielen Dank.
Ich habs gelöst.
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Hallo pc-doctor,
wie Diophant schon bemerkt, stimmt Deine Auflösung der Summe nicht.
Im Induktionsschritt wird nur noch zu zeigen sein, dass
[mm] \summe_{k=1}^{2^n}\bruch{1}{2^n+k}<1 [/mm]
ist. Das ist einfach, da es [mm] 2^n [/mm] Summanden gibt, deren jeder [mm] <\bruch{1}{2^n} [/mm] ist.
Jetzt versuch mal den Induktionsschritt so aufzuschreiben, dass Du diesen Tipp verwenden kannst.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:37 Sa 07.12.2013 | | Autor: | pc_doctor |
Hallo reverend,
ich habe deine Antwort erst jetzt gesehen.
Ich hab den Fehler erkannt, vielen Dank nochmal.
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