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Forum "Induktionsbeweise" - Induktion
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Induktion: Harmonische Zahl
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:56 Sa 07.12.2013
Autor: pc_doctor

Aufgabe
[mm] H_k [/mm] = 1 + [mm] \bruch{1}{2} +...+\bruch{1}{k} [/mm] heißt k-te Harmonische Zahl. Beweisen Sie induktiv , dass für n [mm] \ge [/mm] 0  : [mm] H_{2^{n}} \le [/mm] 1+n



Hallo,
ich bin wie folgt vorgegangen:

Induktionsanker: [mm] H_{2^{0}} \le [/mm] 1+0
              = [mm] H_1 \le [/mm] 1 + 0  

Induktionsvoraussetzung: Es gilt [mm] H_{2^{n}} \le [/mm] 1+n für [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm]

Induktionsschritt:

[mm] H_{2^{n+1}} [/mm] = [mm] \underbrace{1 + \bruch{1}{2}+..+\bruch{1}{2^{n}}}_{= nach IV} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^{n}+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^{n+1}} [/mm]

= [mm] H_{2^{n}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^{n}+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^{n+1}} [/mm]

[mm] \le [/mm] (1+n) +.............

Ab hier weiß ich nicht mehr weiter , ich will auf [mm] \le [/mm] (1+(n+1)) kommen , wie mache ich weiter ?

Vielen Dank im Voraus

        
Bezug
Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:09 Sa 07.12.2013
Autor: Diophant

Hallo,

du hast den Induktionsschluss völlig falsch durchgeführt. Da man

[mm] H_{2^n} [/mm]

betrachtet, kommt beim Schritt n->(n+1) insgesamt die Summe

[mm] \sum_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}= \frac{1}{2^n+1}+ \frac{1}{2^n+2}+...+ \frac{1}{2^{n+1}} [/mm]

dazu. Das ganze muss dann kleiner gleich 1+(n+1)=2+n sein. Du musst also zeigen dass die hinzugekommenen Summanden insgesamt kleiner gleich 1 sind.


Gruß, Diophant 

 

Bezug
                
Bezug
Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:36 Sa 07.12.2013
Autor: pc_doctor

Alles klar , vielen Dank.
Ich habs gelöst.

Bezug
        
Bezug
Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:33 Sa 07.12.2013
Autor: reverend

Hallo pc-doctor,

wie Diophant schon bemerkt, stimmt Deine Auflösung der Summe nicht.

Im Induktionsschritt wird nur noch zu zeigen sein, dass

[mm] \summe_{k=1}^{2^n}\bruch{1}{2^n+k}<1 [/mm]

ist. Das ist einfach, da es [mm] 2^n [/mm] Summanden gibt, deren jeder [mm] <\bruch{1}{2^n} [/mm] ist.

Jetzt versuch mal den Induktionsschritt so aufzuschreiben, dass Du diesen Tipp verwenden kannst.

Grüße
reverend

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Bezug
Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:37 Sa 07.12.2013
Autor: pc_doctor

Hallo reverend,
ich habe deine Antwort erst jetzt gesehen.

Ich hab den Fehler erkannt, vielen Dank nochmal.

Bezug
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