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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:41 Mi 23.10.2013 | | Autor: | Frisco |
| Aufgabe | <br>
Für [mm]n \in \IN_0[/mm] ist [mm]49^n+16n-1[/mm] durch 64 teilbar. |
<br>
Hey ich habe mir mal diese Aufgabe angeschaut und hänge ein bisschen beim Beweis.
Induktionsanfang ist trivial. Nun gelte es für n, dazu sei [mm]a_n=49^n+16n-1[/mm] dieses sei durch [mm]k*64[/mm] teilbar.
IS n --> n+1
da habe ich bis jetzt folgendes
[mm] 49^{n+1}[/mm]+16(n+1)-1
=49*[mm]49^n[/mm]+16n+16-1
=[mm]49^n[/mm]+16n-1+48*[mm]49^n[/mm]+16
=[mm]a_n[/mm]+48*[mm]49^n[/mm]+16
nun komme ich nicht weiter, kann mir da jemand einen Tipp geben oder mache ich den falschen Ansatz?!
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Hallo Frisco,
Du bist doch schon fast fertig.
> Für [mm]n \in \IN_0[/mm] ist [mm]49^n+16n-1[/mm] durch 64 teilbar.
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> Hey ich habe mir mal diese Aufgabe angeschaut und hänge
> ein bisschen beim Beweis.
> Induktionsanfang ist trivial. Nun gelte es für n, dazu
> sei [mm]a_n=49^n+16n-1[/mm] dieses sei durch [mm]k*64[/mm] teilbar.
Hier reicht die Angabe der Aufgabe: [mm] 49^n+16n-1 [/mm] muss also durch 64 teilbar sein. $k$ schadet nicht, ist aber verzichtbar.
> IS n --> n+1
> da habe ich bis jetzt folgendes
> [mm]49^{n+1}[/mm]+16(n+1)-1
> =49*[mm]49^n[/mm]+16n+16-1
> =[mm]49^n[/mm]+16n-1+48*[mm]49^n[/mm]+16
> =[mm]a_n[/mm]+48*[mm]49^n[/mm]+16
Ja, alles gut.
> nun komme ich nicht weiter, kann mir da jemand einen Tipp
> geben oder mache ich den falschen Ansatz?!
Dein Ansatz ist ok.
Zu zeigen bleibt noch, dass [mm] 48*49^n+16\equiv 0\mod{64} [/mm] ist.
[mm] \Rightarrow 3*49^n+1\equiv 0\mod{4}\quad \Rightarrow\quad 3*1^n+1\equiv 4\equiv 0\mod{4}.
[/mm]
Fertig. Alles klar?
Grüße
reverend
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