Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 Mi 14.08.2013 | | Autor: | Tyson |
| Aufgabe | Hallo muss folgendes per Induktion beweisen:
[mm] \bruch{1}{2}*\bruch{3}{4}*\bruch{5}{6}...*\bruch{2n-1}{2n} [/mm] <= [mm] \bruch{1}{ \wurzel{3n+1}}
[/mm]
Induktionsvorraussetzung für n = 1 wahr
1/ 2 = 1/2
Induktionsschritt :
[mm] \bruch{1}{2}*\bruch{3}{4}*\bruch{5}{6}...*\bruch{2*(n+1)-1}{2*(n+1)} [/mm] <= [mm] \bruch{1}{\wurzel{3*(n+1)+1}}
[/mm]
WIe soll ich das hier weiter annähern ?
[mm] \bruch{2*(n+1)-1}{2*(n+1)} [/mm] <= ......
Für einen kleinen tipp wäre ich dankbar. |
gestellt nicht
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Mi 14.08.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo muss folgendes per Induktion beweisen:
>
> [mm]\bruch{1}{2}*\bruch{3}{4}*\bruch{5}{6}...*\bruch{2n-1}{2n}[/mm]
> <= [mm]\bruch{1}{ \wurzel{3n+1}}[/mm]
>
>
> Induktionsvorraussetzung für n = 1 wahr
>
> 1/ 2 = 1/2
Das ist ok.
>
>
> Induktionsschritt :
>
> [mm]\bruch{1}{2}*\bruch{3}{4}*\bruch{5}{6}...*\bruch{2*(n+1)-1}{2*(n+1)}[/mm]
> <= [mm]\bruch{1}{\wurzel{3*(n+1)+1}}[/mm]
>
>
> WIe soll ich das hier weiter annähern ?
>
> [mm]\bruch{2*(n+1)-1}{2*(n+1)}[/mm] <= ......
>
> Für einen kleinen tipp wäre ich dankbar.
Du hast doch:
[mm] \green{\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\ldots\cdot\frac{2n-1}{2n}}\cdot\frac{2(n+1)-1}{2(n+1)}
[/mm]
Auf den grün markierten Teil kannst du die I.V. loslassen, daher
[mm] \green{\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\ldots\cdot\frac{2n-1}{2n}}\cdot\frac{2(n+1)-1}{2(n+1)}\leq\frac{1}{\sqrt{3n+1}}\cdot\frac{2(n+1)-1}{2(n+1)}
[/mm]
Zeige nun noch durch Abschätzugen
[mm] \frac{1}{\sqrt{3n+1}}\cdot\frac{2(n+1)-1}{2(n+1)}\leq\frac{1}{\sqrt{3(n+1)+1}}
[/mm]
>
> gestellt nicht
Was soll das?
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Mi 14.08.2013 | | Autor: | Tyson |
> Hallo
>
> > Hallo muss folgendes per Induktion beweisen:
> >
> >
> [mm]\bruch{1}{2}*\bruch{3}{4}*\bruch{5}{6}...*\bruch{2n-1}{2n}[/mm]
> > <= [mm]\bruch{1}{ \wurzel{3n+1}}[/mm]
> >
> >
> > Induktionsvorraussetzung für n = 1 wahr
> >
> > 1/ 2 = 1/2
>
> Das ist ok.
>
> >
> >
> > Induktionsschritt :
> >
> >
> [mm]\bruch{1}{2}*\bruch{3}{4}*\bruch{5}{6}...*\bruch{2*(n+1)-1}{2*(n+1)}[/mm]
> > <= [mm]\bruch{1}{\wurzel{3*(n+1)+1}}[/mm]
> >
> >
> > WIe soll ich das hier weiter annähern ?
> >
> > [mm]\bruch{2*(n+1)-1}{2*(n+1)}[/mm] <= ......
> >
> > Für einen kleinen tipp wäre ich dankbar.
>
>
>
> Du hast doch:
>
> [mm]\green{\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\ldots\cdot\frac{2n-1}{2n}}\cdot\frac{2(n+1)-1}{2(n+1)}[/mm]
> Auf den grün markierten Teil kannst du die I.V.
> loslassen, daher
>
> [mm]\green{\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\ldots\cdot\frac{2n-1}{2n}}\cdot\frac{2(n+1)-1}{2(n+1)}\leq\frac{1}{\sqrt{3n+1}}\cdot\frac{2(n+1)-1}{2(n+1)}[/mm]
>
> Zeige nun noch durch Abschätzugen
>
> [mm]\frac{1}{\sqrt{3n+1}}\cdot\frac{2(n+1)-1}{2(n+1)}\leq\frac{1}{\sqrt{3(n+1)+1}}[/mm]
>
>
> >
> > gestellt nicht
>
> Was soll das?
>
> Marius
Soll ich beim ersten schritt vielleicht die linke Seite ausmultiplizieren ?
Aber das scheint irgendwie nicht zu helfen .
Oder soll ich die linke und rechte Seite kreuzweise mal nehmen ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 Mi 14.08.2013 | | Autor: | M.Rex |
>
> Soll ich beim ersten schritt vielleicht die linke Seite
> ausmultiplizieren ?
Das könnte helfen.
>
> Aber das scheint irgendwie nicht zu helfen .
Wie hast du denn das innerhalb von 2 Minuten ermittelt, dass das nicht hilft?
>
> Oder soll ich die linke und rechte Seite kreuzweise mal
> nehmen ?
Oh nein.
Mache eine (Un)Gleichungskette.
$ [mm] \frac{1}{\sqrt{3n+1}}\cdot\frac{2(n+1)-1}{2(n+1)}\stackrel{\leq}{=}\ldots\stackrel{\leq}{=}\frac{1}{\sqrt{3(n+1)+1}} [/mm] $
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Mi 14.08.2013 | | Autor: | Tyson |
Ausmultipliziert ergibt das auf der linken seite:
[mm] \bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2n+2} [/mm]
KAnn ich jetzt als nächstes einfach das 2n im Zähler weg nehmen um den Bruch kleiner zu machen ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Mi 14.08.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Ausmultipliziert ergibt das auf der linken seite:
>
> [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2n+2}[/mm]
Das stimmt
>
> KAnn ich jetzt als nächstes einfach das 2n im Zähler weg
> nehmen um den Bruch kleiner zu machen ?
Du willst den Bruch aber größer machen. Aber so, dass er immer noch kleiner als [mm] \frac{1}{\sqrt{3n+2}}=\frac{1}{\sqrt{3(n+1)+1}} [/mm] ist
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Mi 14.08.2013 | | Autor: | Tyson |
> > Ausmultipliziert ergibt das auf der linken seite:
> >
> > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2n+2}[/mm]
>
> Das stimmt
>
> >
> > KAnn ich jetzt als nächstes einfach das 2n im Zähler
> weg
> > nehmen um den Bruch kleiner zu machen ?
>
> Du willst den Bruch aber größer machen. Aber so, dass er
> immer noch kleiner als
> [mm]\frac{1}{\sqrt{3n+2}}=\frac{1}{\sqrt{3(n+1)+1}}[/mm] ist
>
> Marius
Könnte ich es so machen?
[mm] \bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2n+2} [/mm] <= [mm] \bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2n}
[/mm]
Damit wäre der Bruch ja immer noch grösser oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Mi 14.08.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> > > Ausmultipliziert ergibt das auf der linken seite:
> > >
> > > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2n+2}[/mm]
> >
> > Das stimmt
> >
> > >
> > > KAnn ich jetzt als nächstes einfach das 2n im
> Zähler
> > weg
> > > nehmen um den Bruch kleiner zu machen ?
> >
> > Du willst den Bruch aber größer machen. Aber so, dass er
> > immer noch kleiner als
> > [mm]\frac{1}{\sqrt{3n+2}}=\frac{1}{\sqrt{3(n+1)+1}}[/mm] ist
> >
> > Marius
>
>
> Könnte ich es so machen?
>
> [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2n+2}[/mm] <=
> [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2n}[/mm]
Im ersten Bruch fehlern Klammern, ansonsten kann man das so machen.
>
> Damit wäre der Bruch ja immer noch grösser oder?
Ja, du verkleinerst den Nenner, damit vergrößerst du den gesamten Bruch.
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Mi 14.08.2013 | | Autor: | Tyson |
> Hallo
>
> > > > Ausmultipliziert ergibt das auf der linken seite:
> > > >
> > > > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2n+2}[/mm]
> > >
> > > Das stimmt
> > >
> > > >
> > > > KAnn ich jetzt als nächstes einfach das 2n im
> > Zähler
> > > weg
> > > > nehmen um den Bruch kleiner zu machen ?
> > >
> > > Du willst den Bruch aber größer machen. Aber so,
> dass er
> > > immer noch kleiner als
> > > [mm]\frac{1}{\sqrt{3n+2}}=\frac{1}{\sqrt{3(n+1)+1}}[/mm] ist
> > >
> > > Marius
> >
> >
> > Könnte ich es so machen?
> >
> > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2n+2}[/mm] <=
> > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2n}[/mm]
>
> Im ersten Bruch fehlern Klammern, ansonsten kann man das so
> machen.
>
> >
> > Damit wäre der Bruch ja immer noch grösser oder?
>
> Ja, du verkleinerst den Nenner, damit vergrößerst du den
> gesamten Bruch.
>
> Marius
[mm] \bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2n+2}[/mm] [/mm] <=
> > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2n}[/mm] [mm] <=\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2}
[/mm]
wäre so bereits die Ungleichung bewiesen mrex?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:39 Mi 14.08.2013 | | Autor: | M.Rex |
> > Hallo
> >
> > > > > Ausmultipliziert ergibt das auf der linken seite:
> > > > >
> > > > > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2n+2}[/mm]
> > > >
> > > > Das stimmt
> > > >
> > > > >
> > > > > KAnn ich jetzt als nächstes einfach das 2n im
> > > Zähler
> > > > weg
> > > > > nehmen um den Bruch kleiner zu machen ?
> > > >
> > > > Du willst den Bruch aber größer machen. Aber so,
> > dass er
> > > > immer noch kleiner als
> > > > [mm]\frac{1}{\sqrt{3n+2}}=\frac{1}{\sqrt{3(n+1)+1}}[/mm]
> ist
> > > >
> > > > Marius
> > >
> > >
> > > Könnte ich es so machen?
> > >
> > > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2n+2}[/mm] <=
> > > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2n}[/mm]
> >
> > Im ersten Bruch fehlern Klammern, ansonsten kann man das so
> > machen.
> >
> > >
> > > Damit wäre der Bruch ja immer noch grösser oder?
> >
> > Ja, du verkleinerst den Nenner, damit vergrößerst du den
> > gesamten Bruch.
> >
> > Marius
> [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2n+2}[/mm][/mm] <=
> > > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2n}[/mm]
> [mm]<=\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm]
>
>
> wäre so bereits die Ungleichung bewiesen mrex?
Es fehlen immer noch Klammern im ersten Bruch, und das Ziel, also das letzte Glied der (Un)Gleichungskette ist [mm] \frac{1}{\sqrt{3(n+1)+1}}
[/mm]
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Mi 14.08.2013 | | Autor: | Tyson |
> > > Hallo
> > >
> > > > > > Ausmultipliziert ergibt das auf der linken
> seite:
> > > > > >
> > > > > > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2n+2}[/mm]
> > > > >
> > > > > Das stimmt
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > KAnn ich jetzt als nächstes einfach das 2n im
> > > > Zähler
> > > > > weg
> > > > > > nehmen um den Bruch kleiner zu machen ?
> > > > >
> > > > > Du willst den Bruch aber größer machen. Aber
> so,
> > > dass er
> > > > > immer noch kleiner als
> > > > > [mm]\frac{1}{\sqrt{3n+2}}=\frac{1}{\sqrt{3(n+1)+1}}[/mm]
> > ist
> > > > >
> > > > > Marius
> > > >
> > > >
> > > > Könnte ich es so machen?
> > > >
> > > > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2n+2}[/mm] <=
> > > > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2n}[/mm]
> > >
> > > Im ersten Bruch fehlern Klammern, ansonsten kann man
> das so
> > > machen.
> > >
> > > >
> > > > Damit wäre der Bruch ja immer noch grösser oder?
> > >
> > > Ja, du verkleinerst den Nenner, damit vergrößerst du
> den
> > > gesamten Bruch.
> > >
> > > Marius
> > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2n+2}[/mm][/mm] <=
> > > > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2n}[/mm]
> > [mm]<=\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm]
> >
> >
> > wäre so bereits die Ungleichung bewiesen mrex?
>
> Es fehlen immer noch Klammern im ersten Bruch, und das
> Ziel, also das letzte Glied der (Un)Gleichungskette ist
> [mm]\frac{1}{\sqrt{3(n+1)+1}}[/mm]
>
> Marius
Korrigiert:
[mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*(2n+2)}[/mm][/mm] <=
> > > > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2n}[/mm]
> > [mm]<=\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm]
Leider habe ich jetzt nach meinem letzten schritt keine ideen mehr .
Jetzt ist es ein wenig schwer geworden.
Was kann ich denn jetzt noch machen ?
Wie soll ich das jetzt weiter abschätzen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Mi 14.08.2013 | | Autor: | M.Rex |
>
> Korrigiert:
>
> [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*(2n+2)}[/mm][/mm] <=
> > > > > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2n}[/mm]
> > > [mm]<=\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm]
>
>
> Leider habe ich jetzt nach meinem letzten schritt keine
> ideen mehr .
>
> Jetzt ist es ein wenig schwer geworden.
>
> Was kann ich denn jetzt noch machen ?
>
> Wie soll ich das jetzt weiter abschätzen?
Durch ein wenig "Try- and Error".
Vergiss dabei das Ziel $ [mm] \frac{1}{\sqrt{3n+2}}=\frac{1}{\sqrt{3(n+1)+1}} [/mm] $ nicht, evtl macht es auch Sinn, "nebenher" [mm] \frac{1}{\sqrt{3n+2}} [/mm] passend zu "verkleinern".
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Mi 14.08.2013 | | Autor: | Tyson |
> >
> > Korrigiert:
> >
> > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*(2n+2)}[/mm][/mm] <=
> > > > > > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2n}[/mm]
> > > > [mm]<=\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm]
> >
> >
> > Leider habe ich jetzt nach meinem letzten schritt keine
> > ideen mehr .
> >
> > Jetzt ist es ein wenig schwer geworden.
> >
> > Was kann ich denn jetzt noch machen ?
> >
> > Wie soll ich das jetzt weiter abschätzen?
>
> Durch ein wenig "Try- and Error".
>
> Vergiss dabei das Ziel
> [mm]\frac{1}{\sqrt{3n+2}}=\frac{1}{\sqrt{3(n+1)+1}}[/mm] nicht, evtl
> macht es auch Sinn, "nebenher" [mm]\frac{1}{\sqrt{3n+2}}[/mm]
> passend zu "verkleinern".
>
> Marius
Die nächste Abschätzung würde dann bei mir so aussehen :
[mm] \bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2} [/mm] <= [mm] \bruch{2n}{\wurzel{3n+1}*2}
[/mm]
Würde das helfen ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 Mi 14.08.2013 | | Autor: | M.Rex |
> > >
> > > Korrigiert:
> > >
> > > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*(2n+2)}[/mm][/mm] <=
> > > > > > > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2n}[/mm]
> > > > > [mm]<=\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm]
> > >
> > >
> > > Leider habe ich jetzt nach meinem letzten schritt
> keine
> > > ideen mehr .
> > >
> > > Jetzt ist es ein wenig schwer geworden.
> > >
> > > Was kann ich denn jetzt noch machen ?
> > >
> > > Wie soll ich das jetzt weiter abschätzen?
> >
> > Durch ein wenig "Try- and Error".
> >
> > Vergiss dabei das Ziel
> > [mm]\frac{1}{\sqrt{3n+2}}=\frac{1}{\sqrt{3(n+1)+1}}[/mm] nicht, evtl
> > macht es auch Sinn, "nebenher" [mm]\frac{1}{\sqrt{3n+2}}[/mm]
> > passend zu "verkleinern".
> >
> > Marius
>
> Die nächste Abschätzung würde dann bei mir so aussehen
> :
>
> [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm] <=
> [mm]\bruch{2n}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm]
>
> Würde das helfen ?
Vielleicht, vielleicht auch nicht. Das müsste man sehen, wenn du damit weiterrechnest.
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Mi 14.08.2013 | | Autor: | Tyson |
> > > >
> > > > Korrigiert:
> > > >
> > > > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*(2n+2)}[/mm][/mm] <=
> > > > > > > > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2n}[/mm]
> > > > > > [mm]<=\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm]
> > > >
> > > >
> > > > Leider habe ich jetzt nach meinem letzten schritt
> > keine
> > > > ideen mehr .
> > > >
> > > > Jetzt ist es ein wenig schwer geworden.
> > > >
> > > > Was kann ich denn jetzt noch machen ?
> > > >
> > > > Wie soll ich das jetzt weiter abschätzen?
> > >
> > > Durch ein wenig "Try- and Error".
> > >
> > > Vergiss dabei das Ziel
> > > [mm]\frac{1}{\sqrt{3n+2}}=\frac{1}{\sqrt{3(n+1)+1}}[/mm] nicht,
> evtl
> > > macht es auch Sinn, "nebenher" [mm]\frac{1}{\sqrt{3n+2}}[/mm]
> > > passend zu "verkleinern".
> > >
> > > Marius
> >
> > Die nächste Abschätzung würde dann bei mir so
> aussehen
> > :
> >
> > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm] <=
> > [mm]\bruch{2n}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm]
> >
> > Würde das helfen ?
>
> Vielleicht, vielleicht auch nicht. Das müsste man sehen,
> wenn du damit weiterrechnest.
>
> Marius
So gehts dann weiter :
[mm] \bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm] [/mm] <=
[mm] \bruch{2n}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm] [/mm] <= [mm] \bruch{n}{\wurzel{3n+1}*2}
[/mm]
Man o man was kann ich hiernach machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Mi 14.08.2013 | | Autor: | M.Rex |
> > > > >
> > > > > Korrigiert:
> > > > >
> > > > > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*(2n+2)}[/mm][/mm] <=
> > > > > > > > > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2n}[/mm]
> > > > > > > [mm]<=\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm]
> > > > >
> > > > >
> > > > > Leider habe ich jetzt nach meinem letzten
> schritt
> > > keine
> > > > > ideen mehr .
> > > > >
> > > > > Jetzt ist es ein wenig schwer geworden.
> > > > >
> > > > > Was kann ich denn jetzt noch machen ?
> > > > >
> > > > > Wie soll ich das jetzt weiter abschätzen?
> > > >
> > > > Durch ein wenig "Try- and Error".
> > > >
> > > > Vergiss dabei das Ziel
> > > > [mm]\frac{1}{\sqrt{3n+2}}=\frac{1}{\sqrt{3(n+1)+1}}[/mm]
> nicht,
> > evtl
> > > > macht es auch Sinn, "nebenher"
> [mm]\frac{1}{\sqrt{3n+2}}[/mm]
> > > > passend zu "verkleinern".
> > > >
> > > > Marius
> > >
> > > Die nächste Abschätzung würde dann bei mir so
> > aussehen
> > > :
> > >
> > > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm] <=
> > > [mm]\bruch{2n}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm]
> > >
> > > Würde das helfen ?
> >
> > Vielleicht, vielleicht auch nicht. Das müsste man sehen,
> > wenn du damit weiterrechnest.
> >
> > Marius
>
> So gehts dann weiter :
>
> [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm][/mm] <=
> [mm]\bruch{2n}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm][/mm] <= [mm]\bruch{n}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm]
>
>
> Man o man was kann ich hiernach machen?
Der erste Schritt passt nicht
Wenn du den Nenner duch das Weglassen von +1 verkleinerst, wurd der Bruch kleiner.
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Mi 14.08.2013 | | Autor: | Tyson |
> > > > > >
> > > > > > Korrigiert:
> > > > > >
> > > > > > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*(2n+2)}[/mm][/mm] <=
> > > > > > > > > > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2n}[/mm]
> > > > > > > > [mm]<=\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm]
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Leider habe ich jetzt nach meinem letzten
> > schritt
> > > > keine
> > > > > > ideen mehr .
> > > > > >
> > > > > > Jetzt ist es ein wenig schwer geworden.
> > > > > >
> > > > > > Was kann ich denn jetzt noch machen ?
> > > > > >
> > > > > > Wie soll ich das jetzt weiter abschätzen?
> > > > >
> > > > > Durch ein wenig "Try- and Error".
> > > > >
> > > > > Vergiss dabei das Ziel
> > > > > [mm]\frac{1}{\sqrt{3n+2}}=\frac{1}{\sqrt{3(n+1)+1}}[/mm]
> > nicht,
> > > evtl
> > > > > macht es auch Sinn, "nebenher"
> > [mm]\frac{1}{\sqrt{3n+2}}[/mm]
> > > > > passend zu "verkleinern".
> > > > >
> > > > > Marius
> > > >
> > > > Die nächste Abschätzung würde dann bei mir so
> > > aussehen
> > > > :
> > > >
> > > > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm] <=
> > > > [mm]\bruch{2n}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm]
> > > >
> > > > Würde das helfen ?
> > >
> > > Vielleicht, vielleicht auch nicht. Das müsste man
> sehen,
> > > wenn du damit weiterrechnest.
> > >
> > > Marius
> >
> > So gehts dann weiter :
> >
> > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm][/mm] <=
> > [mm]\bruch{2n}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm][/mm] <=
> [mm]\bruch{n}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm]
> >
> >
> > Man o man was kann ich hiernach machen?
>
> Der erste Schritt passt nicht
> Wenn du den Nenner duch das Weglassen von +1 verkleinerst,
> wurd der Bruch kleiner.
>
> Marius
[mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm][/mm] <=
> > [mm]\bruch{2n}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm][/mm] <=
> [mm]\bruch{n}{\wurzel{3n+2}}[/mm]
Könnte ich es so machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 Mi 14.08.2013 | | Autor: | M.Rex |
> >
> > Der erste Schritt passt nicht
> > Wenn du den Nenner duch das Weglassen von +1
> verkleinerst,
> > wurd der Bruch kleiner.
> >
> > Marius
>
> [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm][/mm] <=
> > > [mm]\bruch{2n}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm][/mm] <=
> > [mm]\bruch{n}{\wurzel{3n+2}}[/mm]
>
> Könnte ich es so machen?
Nein, du schätzt hier genau falschherum ab.
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Mi 14.08.2013 | | Autor: | Tyson |
> > >
> > > Der erste Schritt passt nicht
> > > Wenn du den Nenner duch das Weglassen von +1
> > verkleinerst,
> > > wurd der Bruch kleiner.
> > >
> > > Marius
> >
> > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm][/mm] <=
> > > > [mm]\bruch{2n}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm][/mm] <=
> > > [mm]\bruch{n}{\wurzel{3n+2}}[/mm]
> >
> > Könnte ich es so machen?
>
> Nein, du schätzt hier genau falschherum ab.
>
> Marius
[mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm][/mm] <=
[mm]\bruch{2n}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm][/mm]
Bis hierhin ist es doch richtig oder ?
Nicht das ich dich falsch verstehe.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 Mi 14.08.2013 | | Autor: | M.Rex |
> > > >
> > > > Der erste Schritt passt nicht
> [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm][/mm] <=
> [mm]\bruch{2n}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm][/mm]
>
> Bis hierhin ist es doch richtig oder ?
Nein, du machst den Zähler, und damit den Bruch kleiner, du willst ihn aber größer machen.
>
> Nicht das ich dich falsch verstehe.
Dann solltest du gründlicher lesen. Innerhalb von zwei Minuten kann das auch nicht klappen.
Du hastzu zeigen
$ [mm] \frac{1}{\sqrt{3n+1}}\cdot\frac{2(n+1)-1}{2(n+1)}\stackrel{\leq}{=}\ldots\stackrel{\leq}{=}\ldots\stackrel{\leq}{=}\frac{1}{\sqrt{3n+4}}=\frac{1}{\sqrt{3(n+1)+1}} [/mm] $
Ob du diese (Un)Gleichungskette von links oder von rechts angehst, ist egal, du musst nur jeweils richtig herum abschätzen.
Und das schafft man nicht in drei oder vier Minuten, nimm dir mal deutlich mehr Zeit, und überlege jede einzelne Abschätzung/Umformung genau.
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Mi 14.08.2013 | | Autor: | Tyson |
> > > > >
> > > > > Der erste Schritt passt nicht
>
> > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm][/mm] <=
> > [mm]\bruch{2n}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm][/mm]
> >
> > Bis hierhin ist es doch richtig oder ?
>
> Nein, du machst den Zähler, und damit den Bruch kleiner,
> du willst ihn aber größer machen.
>
> >
> > Nicht das ich dich falsch verstehe.
>
> Dann solltest du gründlicher lesen. Innerhalb von zwei
> Minuten kann das auch nicht klappen.
>
>
> Du hastzu zeigen
>
> [mm]\frac{1}{\sqrt{3n+1}}\cdot\frac{2(n+1)-1}{2(n+1)}\stackrel{\leq}{=}\ldots\stackrel{\leq}{=}\ldots\stackrel{\leq}{=}\frac{1}{\sqrt{3n+4}}=\frac{1}{\sqrt{3(n+1)+1}}[/mm]
>
> Ob du diese (Un)Gleichungskette von links oder von rechts
> angehst, ist egal, du musst nur jeweils richtig herum
> abschätzen.
>
> Und das schafft man nicht in drei oder vier Minuten, nimm
> dir mal deutlich mehr Zeit, und überlege jede einzelne
> Abschätzung/Umformung genau.
>
> Marius
Aha ich glaube jetzt habe ich den Fehler :
[mm] \bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm][/mm] [/mm] <=
> > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+4}[/mm][/mm]
Könnte ich den nenner gleich so umstellen ?
Das problem ist alleine werde ich wohl die Aufgabe nicht schaffen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Mi 14.08.2013 | | Autor: | M.Rex |
>
> [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm][/mm][/mm] <=
> > > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+4}[/mm][/mm]
>
> Könnte ich den nenner gleich so umstellen ?
Mit entsprechender Begründung
[mm] \bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2}
[/mm]
[mm] =\bruch{2n+1}{\wurzel{(3n+1)*2^{2}}}
[/mm]
[mm] =\bruch{2n+1}{\wurzel{4(3n+1)}}
[/mm]
[mm] =\bruch{2n+1}{\wurzel{12n+4}}
[/mm]
[mm] =\bruch{2n+1}{\wurzel{9n+3n+4}}
[/mm]
[mm] \le\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+4}}
[/mm]
Die Umformungsschritte versuche mal zu begründen.
>
> Das problem ist alleine werde ich wohl die Aufgabe nicht
> schaffen.
Du willst immer viel zuviel auf einen Streich lösen. Nimm dir doch bitte ein bisschen mehr Zeit, und versuche unsere Tipps auch umzusetzen. Nur dann lernst du auch etwas dabei.
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Mi 14.08.2013 | | Autor: | Tyson |
>
> >
> > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm][/mm][/mm] <=
> > > > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+4}[/mm][/mm]
> >
> > Könnte ich den nenner gleich so umstellen ?
>
> Mit entsprechender Begründung
>
> [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm]
> [mm]=\bruch{2n+1}{\wurzel{(3n+1)*2^{2}}}[/mm]
> [mm]=\bruch{2n+1}{\wurzel{4(3n+1)}}[/mm]
> [mm]=\bruch{2n+1}{\wurzel{12n+4}}[/mm]
> [mm]=\bruch{2n+1}{\wurzel{9n+3n+4}}[/mm]
> [mm]\le\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+4}}[/mm]
>
> Die Umformungsschritte versuche mal zu begründen.
>
> >
> > Das problem ist alleine werde ich wohl die Aufgabe
> nicht
> > schaffen.
>
> Du willst immer viel zuviel auf einen Streich lösen. Nimm
> dir doch bitte ein bisschen mehr Zeit, und versuche unsere
> Tipps auch umzusetzen. Nur dann lernst du auch etwas
> dabei.
>
> Marius
Puuh so ganz hatte ich nicht so gedacht ,.
Begründung :
Zuerst mal die 2 quadriert .
Dann die Klammer ausmultipliziert und dann schliesslich die 4 4n weggelassen um weiter nach oben anzuschätzen.
Aber jetzt tuts mir leid , wie ich den Bruch weiter abschätzen soll, keine Ahnung .
Da bräuchte ich schon einen tipp.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 Mi 14.08.2013 | | Autor: | M.Rex |
> >
> > >
> > > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm][/mm][/mm] <=
> > > > > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+4}[/mm][/mm]
> > >
> > > Könnte ich den nenner gleich so umstellen ?
> >
> > Mit entsprechender Begründung
> >
> > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm]
> > [mm]=\bruch{2n+1}{\wurzel{(3n+1)*2^{2}}}[/mm]
> > [mm]=\bruch{2n+1}{\wurzel{4(3n+1)}}[/mm]
> > [mm]=\bruch{2n+1}{\wurzel{12n+4}}[/mm]
> > [mm]=\bruch{2n+1}{\wurzel{9n+3n+4}}[/mm]
> > [mm]\le\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+4}}[/mm]
> >
> > Die Umformungsschritte versuche mal zu begründen.
> >
> > >
> > > Das problem ist alleine werde ich wohl die Aufgabe
> > nicht
> > > schaffen.
> >
> > Du willst immer viel zuviel auf einen Streich lösen. Nimm
> > dir doch bitte ein bisschen mehr Zeit, und versuche unsere
> > Tipps auch umzusetzen. Nur dann lernst du auch etwas
> > dabei.
> >
> > Marius
>
>
> Puuh so ganz hatte ich nicht so gedacht ,.
>
> Begründung :
>
> Zuerst mal die 2 quadriert .
> Dann die Klammer ausmultipliziert und dann schliesslich
> die 4 4n weggelassen um weiter nach oben anzuschätzen.
>
> Aber jetzt tuts mir leid , wie ich den Bruch weiter
> abschätzen soll, keine Ahnung .
So langsam habe ich das Gefühl, du willst nicht lernen.
>
>
> Da bräuchte ich schon einen tipp.
Die Rechenschritte steht doch schon da. Du musst jetzt lediglich mal überlegen, warum zwischen den Brüche das jeweilige Zeichen steht.
Ich bin jedenfalls bei soviel Ungeduld deinerseits erstmal raus.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:54 Mi 14.08.2013 | | Autor: | Tyson |
Ja der nenner wird kleiner ,daher wird der Bruch grösser .
Oder was meinst du?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Mi 14.08.2013 | | Autor: | Tyson |
> > >
> > > >
> > > > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm][/mm][/mm] <=
> > > > > > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+4}[/mm][/mm]
> > > >
> > > > Könnte ich den nenner gleich so umstellen ?
> > >
> > > Mit entsprechender Begründung
> > >
> > > [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2}[/mm]
> > > [mm]=\bruch{2n+1}{\wurzel{(3n+1)*2^{2}}}[/mm]
> > > [mm]=\bruch{2n+1}{\wurzel{4(3n+1)}}[/mm]
> > > [mm]=\bruch{2n+1}{\wurzel{12n+4}}[/mm]
> > > [mm]=\bruch{2n+1}{\wurzel{9n+3n+4}}[/mm]
> > > [mm]\le\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+4}}[/mm]
Kann mir jemand erklären wie ich den Bruch weiter nach oben abschätzen kann?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:31 Do 15.08.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
>
> Kann mir jemand erklären wie ich den Bruch weiter nach
> oben abschätzen kann?
Du willst einen größeren Brüch bekommen, das bekommst du, indem du den Zähler vergrößerst oder den Nenner verkleinerst.
Aber das ist hier nicht nötig, schau dir mal Al-Chwarizmis Antwort an, das Beweisen dieses Induktionsschrittes geht hier in der Tat durch das Umstellen der Ungleichung, die nach Anwenden der Induktionsvoraussetzung entstanden ist, schneller und eleganter.
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Mi 14.08.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tyson!
> Ausmultipliziert ergibt das auf der linken seite: [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*2n+2}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das stimmt nicht, da hier zwingende Klammern fehlen!
Gruß
Loddar
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Hallo Leute,
ich sehe hier einen Thread, der noch nicht mal 3 Stunden alt ist,
aber schon über 2 Dutzend Fragen und Antworten im emsigen
Hin- und Her (manchmal fast im Minutentakt) enthält.
Ohne alles im Detail durchgelesen zu haben: Wurde hier
nicht vielleicht etwas zu fleißig geschrieben, möglicher-
weise aber zu wenig genau gelesen und vor allem vor
dem erneuten Schreiben zu wenig nachgedacht ?
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:24 Fr 16.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Al,
> Hallo Leute,
>
> ich sehe hier einen Thread, der noch nicht mal 3 Stunden
> alt ist,
> aber schon über 2 Dutzend Fragen und Antworten im emsigen
> Hin- und Her (manchmal fast im Minutentakt) enthält.
>
> Ohne alles im Detail durchgelesen zu haben: Wurde hier
> nicht vielleicht etwas zu fleißig geschrieben,
> möglicher-
> weise aber zu wenig genau gelesen und vor allem vor
> dem erneuten Schreiben zu wenig nachgedacht ?
das sind die ersten Folgen des Bachelor-/Masterstudiengangsystems. 
(Neben ![[]](/images/popup.gif) solchen...)
So nach dem Motto:
"Schnell schnell lernen - Prüfung schreiben - alles vergessen, damit der Kopf wieder "frei" wird -
und das ganze Spiel dann wieder von vorne... "
Ist übrigens (nicht bei allen, aber doch bei vielen) stark beobachtbar. Auch
die "Motivationen" (es geht weniger um Wissenserwerb, denn darum,
möglichst schnell "erfolgreich" zu werden).
Ich warte eh auf die nächste "Burn-Out-Statistik"...
Gruß,
Marcel
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Hallo zusammen,
ich habe mir inzwischen die Ungleichung auch angeschaut
und einen Induktionsbeweis gesucht.
Dabei komme ich gänzlich ohne irgendwelche "Abschätzungen"
aus, bei welchen man weitere Ungleichungen zu Hilfe nimmt.
Nach dem ersten Beitrag von M.Rex bleibt zu zeigen, dass:
$ [mm] \frac{1}{\sqrt{3n+1}}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}\leq\frac{1}{\sqrt{3n+4}} [/mm] $
Wenn man k:=n+1 setzt, heißt dies:
$ [mm] \frac{1}{\sqrt{3k-2}}\cdot\frac{2k-1}{2k}\leq\frac{1}{\sqrt{3k+1}} [/mm] $
Durch Quadrieren, "übers Kreuz multiplizieren" und
Ordnen wird daraus die Ungleichung
$\ [mm] 1-k\le0$
[/mm]
welche für [mm] k\in\IN [/mm] offensichtlich erfüllt ist.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:38 Do 15.08.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Tyson,
das hier:
> gestellt nicht
ist
a) infantil
b) ganz offensichtlich eine bewusst falsche Angabe.
Dieser Thread in einem anderen Forum trägt genau deine Handschrift (insbeondere das eingescannte Bild), von daher fresse ich einen Besen, wenn das hier kein Crossposting ist und schlage hiermit öffentlich die üblichen Konsequenzen vor.
Desweiteren möchte ich dich auffordern, hier dazu Stellung zu beziehen.
Gruß, Diophant
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