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| Aufgabe | Beweisen Sie die folgende Aussage mit vollständiger Induktion:
Für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (3i-2)= n*(3n-1)/2 |
Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter.
Ich habe folgendermaßen angefangen:
Behauptung: [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (3i-2)= n*(3n-1)/2 für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
Induktionsanfang: (n=1) [mm] \summe_{i=1}^{1} [/mm] (3*1-2)= 1(3*1-1)/2=1
Das stimmt.
Induktionsvoraussetzung:Behauptung gelte für festes, aber beliebiges n (mit n ist natürliche Zahl)
Induktionsschluss (von n auf n+1): [mm] \summe_{i=1}^{n+1} [/mm] (3i-2)= (n+1)*(3*(n+1)-1)/2 (stimmt die Klammersetzung ? wahrscheinlich nicht.)
ab da weiß ich dann nicht, wie ich weitermachen soll ! Würde mich freuen, wenn mir jemand auf die Sprünge hilft !
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:27 So 20.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Beweisen Sie die folgende Aussage mit vollständiger
> Induktion:
>
> Für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt: [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] (3i-2)=
> n*(3n-1)/2
> Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter.
> Ich habe folgendermaßen angefangen:
>
> Behauptung: [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] (3i-2)= n*(3n-1)/2 für alle n
> [mm]\in \IN[/mm]
>
> Induktionsanfang: (n=1) [mm]\summe_{i=1}^{1}[/mm] (3*1-2)=
> 1(3*1-1)/2=1
> Das stimmt.
>
> Induktionsvoraussetzung:Behauptung gelte für festes, aber
> beliebiges n (mit n ist natürliche Zahl)
>
> Induktionsschluss (von n auf n+1): [mm]\summe_{i=1}^{n+1}[/mm]
> (3i-2)= (n+1)*(3*(n+1)-1)/2 (stimmt die Klammersetzung ?
> wahrscheinlich nicht.)
>
Die Klammersetzung ist korrekt, wie auch bisher alles andere.
> ab da weiß ich dann nicht, wie ich weitermachen soll !
> Würde mich freuen, wenn mir jemand auf die Sprünge hilft
> !
[mm] \summe_{i=1}^{n+1}(3i-2)
[/mm]
Spalte den letzen Summanden für i=n+1 von der Summe ab.
[mm] =(3(n+1)-2)+\summe_{i=1}^{n}(3i-2)
[/mm]
Nun kannst du die Induktionsvoraussetzung anwenden.
[mm] =(3(n+1)-2)+\frac{n(3n-1)}{2}
[/mm]
Mit ein paar Umformungen solltest du nun auf
= [mm] \frac{(n+1)(3(n+1)-1)}{2}
[/mm]
kommen.
Marius
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