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Induktion: Teilmengen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:28 Mi 19.11.2008
Autor: L1NK

Aufgabe
Angenommen man hat folgende Menge:
M = {1,2,3,...,n} n [mm] \in \IN. [/mm]
Wie kann mit mittels voll. Ind. zeigen, dass diese Menge [mm] 2^{n} [/mm] Teilmengen hat??

Hab da leider überhaupt keinen Ansatzpunkt...
Wie die Ind. geht, weiß ich, mir fehlt nur der Anfang...
Kann mir da einer helfen?
Gruss Link

        
Bezug
Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:48 Mi 19.11.2008
Autor: cp3de

Okay, hier mal wie Skizze wie es gehen könnte:
I.A. n = 1 ist erfüllt: M={} oder M={1}

Ich muss spontan an folgenden Ansatz denken, aber weiß
nicht ob es klappt:

[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] 2^{n} [/mm]

n -> n +1

[mm] \summe_{k=0}^{n +1} \vektor{n+1 \\ k} [/mm] = [mm] 2^{n+1} [/mm]

Bezug
                
Bezug
Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:50 Do 20.11.2008
Autor: L1NK

hallo, danke für deine Antwort, aber ich kann damit leider nichts anfangen.
Die Schreibweise n über k ist mir noch fremd, von daher weiß ich nicht wie ich das induzieren kann...
Weitere Hife???

Bezug
        
Bezug
Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:05 Do 20.11.2008
Autor: cp3de

[mm] \vektor{n \\ k}= \bruch{n!}{(n-k)!\*k!} [/mm] nennt man Binomialkoeffizient.

Damit kannst du die Zahl der Möglichkeiten bestimmen, aus einer n-elementigen Menge k-elementige Teilmengen zu bilden. Durch die
Summe ermittelt man sämtliche Teilmengen, was gerade [mm] 2^{n} [/mm]
ergibt.  Womit wir wieder beim Ausgangsproblem sind.

Vielleicht kann ja noch jemand anderes Hilfestellung geben?

Bezug
                
Bezug
Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:08 Sa 22.11.2008
Autor: L1NK

[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\k} [/mm] = [mm] 2^{n} [/mm]

Das muss ich beweisen? Das ist alles....??

Bezug
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