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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Induktion
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Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:21 Do 10.04.2008
Autor: babsbabs

Aufgabe
Man erläutere das Prinzip der vollständigen Induktion (nach n) anhand eines beweises für die folgende Behauptung!

[mm] (1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)....(1+x^{2^n})=\bruch{1-x^{2^n^+^1}}{1-x} [/mm]


Also mein Ansatz:

Induktionsanfang: n = 0
1+x = [mm] \bruch{1-x^2}{1-x} [/mm]

[mm] 1-x^2 [/mm] = [mm] 1-x^2 [/mm]

dh Induktionsanfang ok!

Induktionsannahme:

[mm] (1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)....(1+x^{2^n})=\bruch{1-x^{2^n^+^1}}{1-x} [/mm]

Induktionsbehauptung:

[mm] (1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)....(1+x^{2^n})=\bruch{1-x^{2^n^+^1^+^1}}{1-x} [/mm]

= [mm] \bruch{1-x^{2^n^+^2}}{1-x} [/mm]

Induktionsbeweis:

[mm] \bruch{1-x^{2^n^+^1}}{1-x}*1+x^{2^n^+^1}=\bruch{1-x^{2^n^+^2}}{1-x} [/mm]

q.e.d

Stimmt das so?

lg


        
Bezug
Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:53 Do 10.04.2008
Autor: angela.h.b.


> Man erläutere das Prinzip der vollständigen Induktion (nach
> n) anhand eines beweises für die folgende Behauptung!
>  
> [mm](1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)....(1+x^{2^n})=\bruch{1-x^{2^n^+^1}}{1-x}[/mm]

Hallo,

sicher steht noch irgendwo, daß [mm] x\not=1. [/mm]

Das Grundprinzip geht ja so:

man hat eine Behauptung für alle [mm] n\in \IN [/mm] zu zeigen.

Induktionsanfang: man zeigt die Gültigkeit der Behauptung für n=0 (oder n=1)

Induktionsannahme: man nimmt an, daß die Behauptung für n gilt.

Induktionsschluß: man zeigt, daß die behauptung  unter dieser Voraussetzung auch für n+1 richtig ist.

>  
>
> Also mein Ansatz:

Sei [mm] x\not=1. [/mm]

>
> Induktionsanfang: n = 0

Zu zeigen: [mm] (1+x^{2^0})=\bruch{1-x^{2^0^+^1}}{1-x} [/mm]  <==> [mm] (1+x)=\bruch{1-x^{2}}{1-x} [/mm]

Es ist

>  1+x

= [mm] (1+x)\bruch{1-x}{1-x} [/mm]

> [mm] =\bruch{1-x^2}{1-x} [/mm]
>  

>  
> dh Induktionsanfang ok!

>  
> Induktionsannahme:

Es gilt

>  
> [mm] (1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)....(1+x^{2^n})=\bruch{1-x^{2^n^+^1}}{1-x} [/mm]

für ein n [mm] \in \IN. [/mm]

>  
> Induktionsbehauptung:

Hier mußt Du nun in der Behauptung jedes(!) n durch n+1 ersetzen.

Zu zeigen: dann ist

>  
> [mm] (1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)....(1+x^{2^{\red{n+1}}}) =\bruch{1-x^{2^n^+^1^+^1}}{1-x} [/mm]
>  
> [mm] =\bruch{1-x^{2^n^+^2}}{1-x} [/mm]
>  
> Induktionsbeweis:

Es ist

[mm] (1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)....(1+x^{2^{\red{n+1}}}) [/mm]

[mm] =(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)....(1+x^{2^n}) *(1+x^{2^{n+1}}) [/mm]  


> [mm] =\bruch{1-x^{2^n^+^1}}{1-x}*(1+x^{2^n^+^1}) [/mm]

Daß nun wirklich das da unten herauskommt, würde ich noch deutlich vorrechen.

[mm] \vdots [/mm]

> [mm] =\bruch{1-x^{2^n^+^2}}{1-x} [/mm]
>  
> q.e.d

Gruß v. Angela


Bezug
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