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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Do 27.09.2007 | | Autor: | crooky |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für alle n Element N im angegebenen Bereich gilt:
8 teilt [mm] (9^n)-1 [/mm] |
hallo!
ich habe heute erst die induktion gelernt und deshalb nicht wirklich eine ahnung, wie ich diese aufgabe lösen soll.
als behauptung habe ich
[mm] [(9^n)-1]/8=x [/mm] x Element N
aufgestellt.
allerdings bringt mir das für den beweis gar nichts, weil ich irgendwie eine zweite seite der gleichung (also nicht x) benötige.
dann habe ich versucht die folge rekursiv darzustellen, doch das hat nicht geklappt.
könnt ihr mir helfen? ich möchte jedoch keine komplettlösung, sondern nur eine kleine hilfe =)
dankeschön!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Do 27.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo crooky,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Den Induktionsanfang mit $n \ = \ 1$ hast Du schon gemacht?
Im Induktionsschritt musst Du nun zeigen, dass auch [mm] $9^{n+1}-1$ [/mm] ein Vielfaches ist und dabei die Induktionsvoraussetzung [mm] $9^n-1 [/mm] \ = \ 8*k$ mit "verarbeiten".
Hier mal die ersten Schritte:
[mm] $$9^{n+1}-1 [/mm] \ = [mm] \9^n*9^1-1 [/mm] \ = \ [mm] 9*9^n-1 [/mm] \ = \ [mm] (8+1)*9^n-1 [/mm] \ = \ [mm] 8*9^n+\blue{9^n-1}$$
[/mm]
Kannst Du nun den letzten Schritt sehen? Was ist mit dem Term [mm] $8*9^n$ [/mm] , ist der durch $8_$ teilbar? Und was ist mit [mm] $9^n-1$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Do 27.09.2007 | | Autor: | crooky |
erstmal danke für die schnelle antwort!
aber ehrlich gesagt verstehe ich das immernoch nicht so ganz. ich habe auch noch keinen richtigen induktionsanfang glaube ich:
Behauptung:
[mm] 9^n-1=8x
[/mm]
Induktionsanfang für n=1:
linke Seite: 8
rechte Seite: 8x ?
Induktionsschritt:
Annahme: [mm] 9^k-1= [/mm] 8x
Behauptung: [mm] 9^{k+1}-1=8*9^k+9^k-1
[/mm]
Beweis: ???
Ich habe mir schon überlegt, ob ich in der gleichung [mm] 8*9^k+9^k-1 [/mm] das [mm] 9^k-1 [/mm] durch 8x ersetzen könnte, aber dann kommt das raus:
[mm] 8*9^k+8x [/mm] = [mm] 8*(9^k+x)
[/mm]
und das bringt mich irgendwie auch nicht weiter...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:53 Do 27.09.2007 | | Autor: | crooky |
Vielen Dank!
Ich habe es verstanden und wie immer, sieht es danach ziemlich einfach aus 
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Das stimmt nicht: die Behauptung lautet, dass für $n+1_$ der Term [mm] $9^{n+1}-1$ [/mm] ebenfalls ein Vielfaches von $8_$ ist.
