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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:17 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Reaper |
Hallo ich habe da eine Frage seitens der collständigen Induktion
geg.: Sei E eine Eigenschaft natürlicher Zahlen und n0 [mm] \in \IN
[/mm]
Falls gilt:
1. E trifft auf n0 zu.
2. Falls E, für ein n [mm] \in \IN, [/mm] für alle m < n zutrifft, so auch für n, dann trifft E audf alle natürlichen Zahlen [mm] \ge [/mm] n0 zu.
Was ich mich jetzt frage wo das m auf einmal herkommt und was es zu beseuten hat. In der Induktion geht es ja darum dass wenn Formel für n gilt ich beweisen muss dass sie auch für n+1 gilt. Warum brauche ich jetzt auf einmal ein m dass hinzu kleiner ist als n? Ich kenn mich hier einfach noch nicht aus.
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Hallo!
> Hallo ich habe da eine Frage seitens der collständigen
> Induktion
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> geg.: Sei E eine Eigenschaft natürlicher Zahlen und n0 [mm]\in \IN
[/mm]
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> Falls gilt:
> 1. E trifft auf n0 zu.
> 2. Falls E, für ein n [mm]\in \IN,[/mm] für alle m < n zutrifft,
> so auch für n, dann trifft E audf alle natürlichen Zahlen
> [mm]\ge[/mm] n0 zu.
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> Was ich mich jetzt frage wo das m auf einmal herkommt und
> was es zu beseuten hat. In der Induktion geht es ja darum
> dass wenn Formel für n gilt ich beweisen muss dass sie auch
> für n+1 gilt. Warum brauche ich jetzt auf einmal ein m dass
> hinzu kleiner ist als n? Ich kenn mich hier einfach noch
> nicht aus.
Na, also bei der Induktion nimmst du in der Induktionsvoraussetzung an, dass deine Behauptung bzw. das, was du zeigen willst, für alle Zahlen gilt, die kleiner sind als n. Also eben für alle m < n.
Im Prinzip zeigst du ja mit dem Induktionsanfang, dass es für einen ersten Wert gilt, und wenn du dann mit n+1 rechnest, zeigst du ja die Behauptung für den nächsten Wert (also vom Induktionsanfang ausgehend für den zweiten Wert, dann für den dritten) und immer so weiter. Da du die Aussage aber für alle Zahlen beweisen sollst, müsstest du ja unendlich weiter beweisen  . Also nimmst du einfach an, du hast es für die n-1 schon bewiesen und beweist es jetzt für n (man kann auch n und n+1 nehmen).
Verstehst du es jetzt? Ich kann es leider nicht anders ausdrücken.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Reaper |
OK also nehmen wir einmal [mm] \summe_{i=1}^{n}(2k-1) [/mm] = n² her.
IA : 1 = 1 w.A.
IS : Wir nehmen an dass es für alle n gilt, nun müssen wir beweisen dass es auch für alle n+1 gilt. Wo kann ich hierbei ablsesen dass es für alle m< n gelten muss. Hängt dass irgendwie mit fem n+1 zusammen. Mein Problem ist dass ich mir unter n<m nichts logisches vorstellen kann sodass ich daraus schließen kann dass das nun für alle natürlichen Zahlen gilt. Es will einfach nicht in meinen Schädel hineingehen.
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Manchmal nimmt man in der Ind.voraussetzung an, dass die Aussage für ein bel. n gelten soll, und manchmal ist es nötig vorauszusetzen, dass sie für mehrere m<n gelten soll (dieses m ist einfach nur eine neue Bezeichnung für "einige" der natürlichen Zahlen - wenn man die Zahlen, die man damit meint, weiterhin n nennen würde, dann käme mathematischer Blödsinn dabei raus: der Satz "die Behauptung gelte für alle n<n würde keinen Sinn machen. Deswegen nimmt man nen neuen Buchstaben dafür, das m).
Und jetzt isses so: stell dir die Vollst. Induktion (V.I.) vor, wie ne Reihe von aufgestellten Dominosteinen. Aufgaben: zeige, dass alle Steine umfallen werden, wenn ich den 1. Stein antoße.
Ind.anfang: ich zeige, dass der 1. Stein fällt.
[mm]n \to n+1[/mm]: ich zeige, dass wenn ein bestimmter, beliebiger Stein umfällt, dann tut es auch sein Nachfolger.
Und somit hab ich gezeigt, dass alle Steine umfallen werden, denn: der 1. Stein fällt (nach Ind.anfang). Dann fällt auch sein Nachfolger, der 2. Stein. Wenn der 2. Stein fällt, dann auch sein Nachfolger, der 3. Stein.... u.s.w. Diese Abfolge von "alle anderen fallen auch" kommt vom [mm]n \to n+1[/mm]-Schluß, bei dem ja gezeigt wurde, dass wenn ein bel. Stein fällt, dann auch sein Nachfolger.
Und somit ist die Behauptung für alle n Steine bewiesen.
Und in manchen anderen Beweisen ist es eben nötig, das "Umfallen" nicht nur für einen Vorgänger vorauszusetzen, sondern für mehrere (bzw. alle), wobei das an der Richtigkeit des Beweises nichts ändert.
Ich hoffe, es ist ein wenig verständlicher geworden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Reaper |
OK wenn ich das jetzt richtig verstanden habe dann is es ja normalerweise so dass ich bei der IV annehme wenn es für n= 1 gilt dann muss es automatisch für alle n gelten. Nun kann ich aber auch annehmen dass es nur für einen Teil von [mm] \IN [/mm] gilt nämlich für m < n wo hierbei n nicht mehr inbegriffen ist.
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Induktionsanfang: ich zeige, dass die Behauptung für die erste erlaubte Zahl richtig ist (d.h.: wenn da steht "zeige, dass für alle [mm]n \in \IN[/mm] gilt...", dann eben für [mm]n=1[/mm], wenn da stehen würde: "zeige, dass für alle [mm]n \ge 5[/mm] gilt:..." , dann mach ich den Ind.anf. eben für [mm]n=5[/mm]).
Induktionsvoraussetzung: ich setze voraus, dass die Behauptung (also die (Un-)Gleichung, die in der Aufgabe gezeigt werden soll), für ein bel. [mm]m \in \IN[/mm] gilt. Sollte sich später rausstellen, dass ich später im Ind.schluß [mm]m \to m+1[/mm] mehrere "Vorgänger" der Zahl [mm]m+1[/mm] brauche, als nur [mm]m[/mm], dann nehm ich eben die andere "Version", nämlich dass die Behauptung für alle [mm]n \le m[/mm] gelten soll.
Induktionsschluß: ich zeige jetzt, dass die Behauptung aus der Aufgabenstellung auch gilt, wenn ich auf linker und rechter Seite jeweils [mm]m+1[/mm] einsetze, statt [mm]m[/mm]. Irgendwo in diesem Ind.schluß verwende ich die Ind.voraussetzung.
Jetzt hab ich dich mit den vielen "n" und "m" hoffentlich nicht verwirrt.
Ach ja, die Ind.vor. ist unabhängig vom Ind.anfang, d.h. dein Satz "...dass ich bei der IV annehme wenn es für n= 1 gilt dann muss es automatisch für alle n gelten..." ist so nicht richtig. In der IV setz ich nur voraus, dass es für ein bel. n (oder eben für alle [mm]m \le n[/mm]) gilt. Und wenn ich voraussetzen würde, dass es dann "automatisch für alle n gilt, dann hätte ich ja nix mehr zu beweisen.
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