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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 Sa 07.04.2007 | | Autor: | ocram |
| Aufgabe | Man beweise mittels Induktion, dass,
[mm] (1+x)^{n}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*x^{k} [/mm] |
Hallo,
komme damit nicht so recht weiter,
Induktionsanfang ist ja schnell gemacht, aber der Schluss macht mir Probleme:
[mm] (1+x)^{n+1}=(1+x)^{n}*(1+x)=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*x^{k}*(1+x)=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*x^{k} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*x^{k+1}
[/mm]
Und nun? Ich komme nicht weiter... Wär schön, wenn mir jemand einen Denkanstoß geben könnte.
MfG
ocram
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Hallo,
du musst ein wenig mit den Grenzen der Summen rumtricksen:
Ich hab das mal so hingestrickt:
[mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}\cdot{}x^{k}+\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}\cdot{}x^{k+1}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}\cdot{}x^{k}+\summe_{k=\red{1}}^{\red{n+1}}\vektor{n \\ \red{k-1}}\cdot{}x^{\red{k}} [/mm] Das ist dieselbe Summe, ich habe nur den Laufindex um 1 erhöht und in der Summe den Index um 1 ernierdrigt, um das auszugleichen
[mm] =\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}\cdot{}x^{k}+\summe_{k=\green{0}}^{\red{n+1}}\vektor{n \\ \red{k-1}}\cdot{}x^{\red{k}} [/mm] , denn [mm] \vektor{n \\ -1}=0
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{\red{n+1}}\vektor{n \\ k}\cdot{}x^{k}+\summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n \\ k-1}\cdot{}x^{k} [/mm] denn [mm] \vektor{n \\ n+1}=0
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{n+1}\left[\vektor{n \\ k}+\vektor{n \\ k-1}\right]x^k=\summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n+1 \\ k}x^k [/mm] Additionstheorem für Binomialkoeffizienten
So und das ist doch genau der gewünschte Ausdruck
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:32 Sa 07.04.2007 | | Autor: | ocram |
Danke, vielen Dank, da wär ich ja nie drauf gekommen, wie man mit diesen Indizes rumspielen darf.
Hast mir sehr geholfen
MfG
ocram
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