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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Do 28.12.2006 | | Autor: | lene233 |
| Aufgabe | Seien n [mm] \in \IN* [/mm] = [mm] \IN [/mm] \ {0} und x = [mm] (x_{1}, ...,x_{n}) \in (\IR_{>0})^{n}. [/mm] Man beweise:
[mm] \produkt_{j=1}^{n} x_{j} [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow \summe_{j=1}^{n} x_{j}\ge [/mm] n.
Hinweis: Induktion! Beim Schluss von n auf n+1 sei [mm] x_{n} [/mm] die kleinste und [mm] x_{n+1} [/mm] die größte der Zahlen [mm] x_{j}. [/mm] Dann wende man die Induktionsvoraussetzung an auf [mm] {x_{1}, ... , x_{n-1}, x_{n} x_{n+1}}. [/mm] |
Hallo,
Induktionsanfang: Für n=1
[mm] \produkt_{j=1}^{1} x_{j} [/mm] = [mm] x_{1} [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow \summe_{j=1}^{1} x_{j}= [/mm] 1 [mm] \ge [/mm] 1.
Den Induktionsanfang versteh ich noch und er ist auch schlüssig.
Jetzt der Induktionsschluss. Den bekomme ich einfach nicht hin. Gäbe es vielleicht irgendwelche Zahlen oder so womit ich mir das vorstellen kann? Ich wüsste einfach nicht, wofür das richtig wäre und womit das bewiesen wäre.
Und dann habe ich noch die Frage, ob in der Aufgabenstellung etwas falsch ist. Nämlich ganz am Ende: Fehlt beim Hinweis in der letzten geschweiften Klammer zwischen [mm] x_{n} [/mm] und [mm] x_{n+1} [/mm] ein Komma?
Lg Lene
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 Do 28.12.2006 | | Autor: | baufux |
Hallo!
Also das mit dem [mm]x_{n}x_{n+1}[/mm] stimmt schon ohne Komma.
Vorstellen kanst du dir das ganze so: Wenn das Produkt über mehrere poitive Zahlen 1 sein soll sind entweder alle Faktoren 1 oder falls einer ungleich 1 ist, muss auch sein Kehrwert unter den Faktoren sein.
Damit kannst du den Induktionschritt folgendermaßen durchführen:
[mm]\produkt_{j=1}^{n+1}x_{j}=1[/mm] ist Voraussetzung.
Mit [mm] x_{n} [/mm] ist kleinste und [mm] x_{n+1} [/mm] größte Zahl muss gelten: [mm] x_{n}x_{n+1}=1
[/mm]
Damit kann man schreiben:
[mm]\produkt_{j=1}^{n-1}x_{j}*x_{n}x_{n+1}=1[/mm]
Mit der Induktionsvoraussetzung für n-1 folgt:
[mm]\produkt_{j=1}^{n-1}x_{j}=1 \Rightarrow \sum_{j=1}^{n-1}x_{j} \ge n-1[/mm]
Wenn man nun noch die beiden fehlenden Faktoren dazuzählt folgt:
[mm]\produkt_{j=1}^{n+1}x_{j}=1 \Rightarrow \sum_{j=1}^{n-1}x_{j} + x_{n} + x_{n+1} = \sum_{j=1}^{n+1}x_{j} \ge n-1 + x_{n} + x_{n+1}[/mm]
Nun muss man noch zeigen, dass eine positive Zahl plus ihren Kehrwert immer größer-gleich 2 ist:
[mm]x_{n}+x_{n+1}=x_{n}+\bruch{1}{x_{n}}=\bruch{x_{n}^{2}+1}{x_{n}}[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{x_{n}^{2}+1}{x_{n}} \ge 2[/mm] ist zu zeigen.
[mm] \Rightarrow x_{n}^{2}+1 \ge 2x_{n}[/mm] Erlaubt, da [mm] x_{n} \in \IR^{+}[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{n}^{2}-2x_{n}+1 \ge 0[/mm]
Da dies eine nach oben geöffnete Parabel ist muss man noch prüfen, ob diese die x-Achse schneidet. Da man hier aber sieht, dass die einzige Nullstelle bei [mm] x_{n}=1 [/mm] liegt gilt die Ungleichung.
Also folgt schließlich:
[mm]\produkt_{j=1}^{n+1}x_{j}=1 \Rightarrow \sum_{j=1}^{n+1}x_{j} \ge n-1 + x_{n} + x_{n+1} \ge n-1+2 = n+1[/mm]
MfG Baufux
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Do 28.12.2006 | | Autor: | lene233 |
> Hallo!
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> Also das mit dem [mm]x_{n}x_{n+1}[/mm] stimmt schon ohne Komma.
>
> Vorstellen kanst du dir das ganze so: Wenn das Produkt über
> mehrere poitive Zahlen 1 sein soll sind entweder alle
> Faktoren 1 oder falls einer ungleich 1 ist, muss auch sein
> Kehrwert unter den Faktoren sein.
>
> Damit kannst du den Induktionschritt folgendermaßen
> durchführen:
>
> [mm]\produkt_{j=1}^{n+1}x_{j}=1[/mm] ist Voraussetzung.
> Mit [mm]x_{n}[/mm] ist kleinste und [mm]x_{n+1}[/mm] größte Zahl muss
> gelten: [mm]x_{n}x_{n+1}=1[/mm]
>
> Damit kann man schreiben:
>
> [mm]\produkt_{j=1}^{n-1}x_{j}*x_{n}x_{n+1}=1[/mm]
> Mit der Induktionsvoraussetzung für n-1 folgt:
> [mm]\produkt_{j=1}^{n-1}x_{j}=1 \Rightarrow \sum_{j=1}^{n-1}x_{j} \ge n-1[/mm]
>
> Wenn man nun noch die beiden fehlenden Faktoren dazuzählt
> folgt:
> [mm]\produkt_{j=1}^{n+1}x_{j}=1 \Rightarrow \sum_{j=1}^{n-1}x_{j} + x_{n} + x_{n+1} = \sum_{j=1}^{n+1}x_{j} \ge n-1 + x_{n} + x_{n-1}[/mm]
ist denn das letzte " [mm] x_{n-1}" [/mm] so richtig? Das versteh ich nicht so ganz. Oder muss das n+1 sein? Dann wäre es mir klar.
Sonst war es super verständlich geschrieben. Danke dafür :)
lg lene
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:38 Do 28.12.2006 | | Autor: | baufux |
Da hast recht, dass war ein Tippfehler, habs ausgebessert, hoffe es ist jetzt klar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:48 Do 28.12.2006 | | Autor: | lene233 |
Super, dann habe ich alles verstanden :)
Und werde mich an das nächste Abenteuer machen :(
lg lene
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Do 28.12.2006 | | Autor: | lene233 |
| Aufgabe | Man beweise:
g(x):= [mm] (\produkt_{j=1}^{n}x_{j})^{\bruch{1}{n}} \le \bruch{1}{n} (\summe_{j=1}^{n} x_{j}) [/mm] =: a(x). |
Das ist weiterhin gefragt. Das soll man aber beweisen. Doch ich weiß einfach nicht wie. Mein Ansatz ist:
Sei P:= [mm] \produkt_{j=1}^{n}x_{j} [/mm] = 1
P > 0, das sieht man ja. Deshalb existiert [mm] \wurzel[n]{P} [/mm] > 0 .
Dann steht aber bei der Lösung:
[mm] \produkt_{j=1}^{n}\bruch{x_{j}}{\wurzel[n]{P}} [/mm] . Das ist ja gleich 1.
Meine Frage ist, warum man durch [mm] \wurzel[n]{P} [/mm] teilt.
Als letzter Schritt kommt dann nämlich schon ohne jegliche Zwischenschritte:
[mm] \summe_{j=1}^{n} \bruch{x_{j}}{\wurzel[n]{P}} \ge [/mm] n
[mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] \bruch{1}{n} \summe_{j=1}^{n} x_{j} \ge \wurzel[n]{P} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{\produkt_{j=1}^{n} x_{j}}
[/mm]
Für mich ist leider nicht ersichtlich, wie die von dem vor dem [mm] \Rightarrow [/mm] zu dem danach kommen. Das scheint mir willkürlich passiert zu sein.
Danke jetzt schon mal für eure Hilfe.
lg lene
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 Do 28.12.2006 | | Autor: | baufux |
So schlimm ist dass aber nicht.
Es gilt immer noch die Voraussetzung:
[mm]\produkt_{j=1}^{n}x_{j}=1 \Rightarrow \sum_{j=1}^{n}x_{j} \ge n[/mm]
Da [mm] p:=\produkt_{j=1}^{n}x_{j} \gdw \wurzel[n]{p}=1[/mm]
Wenn man nun die Summe folgendermaßen umschreibt erhält man die Behauptung:
[mm]\sum_{j=1}^{n}x_{j} \ge n[/mm]
[mm]\sum_{j=1}^{n}\bruch{x_{j}}{1} \ge n[/mm]
[mm]\sum_{j=1}^{n}\bruch{x_{j}}{\wurzel[n]{p}} \ge n[/mm]
Den Nenner kann man nun vor die Summe ziehen, da er nicht von j abhängt (ausklammern):
[mm]\bruch{1}{\wurzel[n]{p}}*\sum_{j=1}^{n}x_{j} \ge n[/mm]
Dann noch auf beiden Seiten mal [mm]\bruch{\wurzel[n]{p}}{n}[/mm] un man erhält:
[mm]\bruch{1}{n}*\sum_{j=1}^{n}x_{j} \ge \wurzel[n]{p} = \wurzel[n]{\produkt_{j=1}^{n}x_{j}}[/mm]
Fertig!
Somit hast du gezeigt, dass das geometrische Mittel kleiner-gleich dem arithmetischen Mittel ist.
MfG Baufux
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:50 Do 28.12.2006 | | Autor: | lene233 |
Kommst du da von allein drauf? Ich wüsste einfach nicht wie ich da hinkomme. Nachvollziehen ist nun kein Problem. Danke danke danke *auf die Knie fall* Scheint so plausibel. :)
lg lene
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:02 Fr 29.12.2006 | | Autor: | baufux |
Doch schon. Aber ich studier das ja auch.
Wie man da draufkommt ist schlecht zu erklären. Übrigens stimmt der Beweis nur wenn p = 1 gilt. Für allgemeine [mm] x_{j} [/mm] müsste man sich da noch was überlegen. Die Unleichung gilt nämlich auch für allgemeine [mm] x_{j} \in \IR^{+}_{0}.
[/mm]
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