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| Aufgabe | | Für reele Zahlen a,b [mm] \not= [/mm] 0 und n [mm] \in \IN [/mm] gilt ide Identität |
(a-b) [mm] \summe_{k=0}^{n}a^{k}b^{n-k}= a^{n+1}-b^{n+1}
[/mm]
Dies soll mit bewiesen werden!!!
Ich komm hier net mal druff mit n= 1 zum = zu kommen?! HAb versucht das mit
k=0 und n=1 zu errechnen , aber da kommt dann bei mir
[mm] ab-b^{2}=a^{2}b^{2} [/mm] raus, und dat stimmt ja nur für a=b, habsch mich verrechnet?
Die Behauptung sollte stimmen?!
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Steffan!
Du musst hier für den Induktionsanfang $n \ = \ [mm] \red{0}$ [/mm] (= kleinster möglicher $k_$-Wert) einsetzen:
[mm] $(a-b)*\summe_{k=0}^{0}a^{k}*b^{n-k} [/mm] \ = \ [mm] (a-b)*a^0*b^{0-0} [/mm] \ = \ [mm] (a-b)*a^0*b^0 [/mm] \ = \ (a-b)*1*1 \ = \ a-b \ = \ [mm] a^1-b^1 [/mm] \ = \ [mm] a^{0+1}-b^{0+1}$
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Erfüllt für $n \ = \ 0$ !
Gruß vom
Roadrunner
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Danke, für 0 ist das ja doch recht einfach, aber wenn ich n+1 einsetzte komme ich irgendwann auf dieses:
[mm] a^{k} b^{2n+1-k}= (a-b)^{n+1}
[/mm]
gibts da irgend eine rechenregel, die mir das vereinfacht?
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Hallo Steffan!
Wie kommst Du denn auf die $2_$ im Exponenten?
Für $n+1_$ erhalte ich:
[mm] $(a-b)*\summe_{k=0}^{n+1}a^k*b^{n+1-k} [/mm] \ = \ [mm] (a-b)*\left(\summe_{k=0}^{n}a^k*b^{n-k}*b^1+a^{n+1}*b^{n+1-(n+1)}\right) [/mm] \ = \ [mm] (a-b)*\left(b*\blue{\summe_{k=0}^{n}a^k*b^{n-k}}+a^{n+1}*b^0\right) [/mm] \ = \ ...$
Nun für den blauen Term die Induktionsvoraussetzung einsetzen ...
Gruß vom
Roadrunner
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wenn ich für das blaue dann [mm] a^{n+1}-b^{n+1}/(a-b) [/mm] einsetze, ende ich auf
b ( [mm] a^{n+1}-b^{n+1})+a^{n+1}(a-b)
[/mm]
damit komme ich nie auf erhofftes Ergebnis vom [mm] a^{n+1}-b^{n+1}
[/mm]
Danke für deine Hilfe, wahrscheinlich seh ich den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr
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Hallo Steffan!
Hier mal etwas Wald neben den Bäumen  ... Du hast nämlich gerade ein falsches Ziel vor Augen.
Das Ergebnis des Induktionsschrittes muss ja lauten:
$... \ = \ [mm] a^{(n+1)+1}-b^{(n+1)+1} [/mm] \ = \ [mm] a^{n+2}-b^{n+2}$
[/mm]
Und? Das sollte doch machbar sein, oder?
Gruß vom
Roadrunner
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Danke... Ich kann jetzt Holz hacken gehn!!!
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