Induktion+binomialkoeffizient < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:26 Mi 12.11.2008 | | Autor: | bene88 |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
zeigen sie mittels vollständiger induktion über m dass für alle n,m [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{m} \pmat{n+k \\ n }=\pmat{ n+m+1 \\ n+1 } [/mm] |
also... ich habe prinzipiell so meine lieben probleme mit dem binomialkoeffizienten. mein ansatz ist folgender:
[mm] \summe_{k=0}^{m+1} \pmat{ n+k \\ n }= \summe_{k=0}^{m} \pmat{ n+k \\ n } [/mm] + [mm] \pmat{ n+m+1 \\ n } [/mm] = [mm] \pmat{ n+m+1 \\ n+1 } [/mm] + [mm] \pmat{ n+m+1 \\ n }
[/mm]
bin ich hier fertig?
wie kann/ darf ich das jetzt zusammen fassen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:31 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo bene,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Nein, Du bist noch nicht fertig. Im Induktionsschritt musst Du doch folgendes Ergebnis erhalten:
[mm] $$\vektor{n+(m+1)+1\\n+1} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{n+m+2\\n+1}$$
[/mm]
> [mm]\summe_{k=0}^{m+1} \pmat{ n+k \\ n }= \summe_{k=0}^{m} \pmat{ n+k \\ n }[/mm] + [mm]\pmat{ n+m+1 \\ n }[/mm] = [mm]\pmat{ n+m+1 \\ n+1 }[/mm] + [mm]\pmat{ n+m+1 \\ n }[/mm]
Dafür solltest Du diese beiden Terme zusammenfassen. Wende dafür jeweils die Defintion des Binomialkoeffizienten an und bringe alles auf einen Bruch.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Du kennst doch sicher das Pascalsche Dreieck...
Da "sieht" man schon die Beziehung [mm] \vektor{a \\ b}+\vektor{a \\ b+1}=\vektor{a+1 \\ b+1}
[/mm]
Eigentlich ist es natürlich umgekehrt, genau diese Beziehung liegt der Konstruktion des (unendlichen) Dreiecks zugrunde.
|
|
|
|
