Indexshifts bei Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Di 25.03.2008 | | Autor: | tobbeu |
Hallo,
Ich wollte mal fragen, wie ich mit Indexshifts umgehe.
Am Beispiel:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k!}z^k
[/mm]
Das sieht ja aus wie die Exp-Reihe. Man muss nur noch den Index von k=1 auf k=0 erweitern. Die Reihe wird also länger, um ein Glied.
Kann ich nun gleichermaßen schreiben:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k!}z^k [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}z^k [/mm] - 1 = [mm] e^z-1
[/mm]
und
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k!}z^k [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{(k+1)!}z^{k+1} [/mm] ???
Und das ganze äquivalent zum Verkürzen einer Reihe, also
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}z^k [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k!}z^k [/mm] + 1 = [mm] e^z+1 [/mm] ???
Besten Dank,
Tobi
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> Hallo,
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> Ich wollte mal fragen, wie ich mit Indexshifts umgehe.
> Am Beispiel:
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k!}z^k[/mm]
> Das sieht ja aus wie die Exp-Reihe. Man muss nur noch den
> Index von k=1 auf k=0 erweitern. Die Reihe wird also
> länger, um ein Glied.
> Kann ich nun gleichermaßen schreiben:
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k!}z^k =
\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}z^k - 1 = e^z-1[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Wozu also noch weitersuchen: der Wert der fraglichen Reihe ist damit bestimmt.
>
> und
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k!}z^k =
\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{(k+1)!}z^{k+1}[/mm] ???
Dies ist zwar richtig, aber diese Indexverschiebung bringt Dir für die Bestimmung des Wertes der Reihe eigentlich nichts...
> Und das ganze äquivalent zum Verkürzen einer Reihe, also
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}z^k =
\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k!}z^k + 1 = e^z+1[/mm] ???
Dies ist richtig: aber nicht aufgrund einer Indexverschiebung, sondern wegen der Abspaltung des Reihengliedes zum Summationsindex $k=0$ von der Exponentialreihe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Di 25.03.2008 | | Autor: | tobbeu |
Vielen Dank!
> > Und das ganze äquivalent zum Verkürzen einer Reihe, also
> >
> > [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}z^k =
\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k!}z^k + 1 = e^z+1[/mm]
> ???
>
> Dies ist richtig: aber nicht aufgrund einer
> Indexverschiebung, sondern wegen der Abspaltung des
> Reihengliedes zum Summationsindex [mm]k=0[/mm] von der
> Exponentialreihe.
>
Warum nicht wegen dem Indexshift?
Ich verkürze meine Reihe ja um ein Glied. Dies muss ich dann der verkürzten Reihe dazuaddieren, damit ich rechts und links zwei gleiche Aussagen stehen hab, oder?
Meiner Meinung nach sind die Abspaltung des Summationsindex für k=0 und die Indexverschiebung zwei voneinander abhängige und äquivalente Vorgänge...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:23 Di 25.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Es geht nur um Worte, nicht um richtig oder falsch.
Indexverschiebung: man verschiebt k nach links (statt ab 1 ab 0 und summiert dann über [mm] a_{k+1} [/mm] statt über [mm] a_k [/mm] entsprechend nach rechts .
oder was du auch gemacht hast man schreibt das erst (oder mehrere) Summanden einzeln und fängt weiter hinten an, das nennt ma nicht Indexverschiebung, genausowenig, wenn man weiter vorn anfängt und die entsprechenden glieder wieder abzieht. Das ist einfach "Aufspaltung" der Summe. Aber wie gesagt, das sind nur namen, und du hast ja alles richtig gemacht.
gruss leduart
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> Vielen Dank!
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> > > Und das ganze äquivalent zum Verkürzen einer Reihe, also
> > >
> > > [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}z^k =
\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k!}z^k + 1 = e^z+1[/mm]
> > ???
> >
> > Dies ist richtig: aber nicht aufgrund einer
> > Indexverschiebung, sondern wegen der Abspaltung des
> > Reihengliedes zum Summationsindex [mm]k=0[/mm] von der
> > Exponentialreihe.
> >
>
> Warum nicht wegen dem Indexshift?
Indexverschiebung ist beispielsweise dies: [mm] $\sum_{n=n_0}^N a_n=\sum_{n=n_0+c}^{N+c} a_{n-c}$.
[/mm]
Abspalten der ersten [mm] $n_1-n_0$ [/mm] Folgenglieder, andererseits, ist beispielsweise dies: [mm] $\sum_{n=n_0}^N a_n [/mm] = [mm] a_{n_0}+\cdots [/mm] + [mm] a_{n_1}+\sum_{n=n_1}^N a_n$.
[/mm]
Es handelt sich um durchaus hinreichend klar unterscheidbare Umformungen. Du hattest die Möglichkeit einer Indexverschiebung zwar erwähnt, aber zur Bestimmung des Reihenwertes nicht wirklich gebraucht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:42 Di 25.03.2008 | | Autor: | tobbeu |
Vielen Dank!
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