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| Aufgabe | Gegeben sei die Gleichung [mm] q_{ij}=Ap_{ij}-Bp_{kk}\delta_{ij}
[/mm]
Beweisen sie mit Hilfe der Gleichung dass
[mm] p_{ij}=\bruch{1}{A}(q_{ij}+\bruch{B}{A-3B}q_{kk}\delta_{ij})
[/mm]
ist. |
Hallo,
komm mit der Aufgabe nicht zurecht.
Hier mein Lösungsweg:
1. Gleichung mit [mm] q_{ij} [/mm] multipliziert
[mm] q_{ij}q_{ij}=Ap_{ij}q_{ij}-Bp_{kk}q_{ij}\delta_{ij}
[/mm]
2. mit [mm] q_{mm}=q_{ij}\delta_{ij}
[/mm]
[mm] q_{ij}q_{ij}=Ap_{ij}q_{ij}-Bp_{kk}q_{mm}
[/mm]
bzw.
[mm] q_{ij}q_{ij}=Ap_{ij}q_{ij}-Bp_{mm}q_{kk}
[/mm]
3. mit [mm] p_{mm}=p_{ij}\delta_{ij}
[/mm]
[mm] q_{ij}q_{ij}=Ap_{ij}q_{ij}-Bp_{ij}q_{kk}\delta_{ij}
[/mm]
Jetzt bin ich aber schon mit meinem Latein am Ende :(
Kann mir da bitte jemand weiterhelfen?
Danke,
Bernd
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:30 Mi 26.02.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo Bernd!
Kannst du uns mal aufklären, was die Symbole bedeuten? Ich nehme an, dass A und B Matrizen ([mm]m\times n[/mm]? [mm]n\times n[/mm]?) und die [mm]p_{ij}[/mm] und [mm]q_{ij}[/mm] Matrixeinträge sind. Wenn dem so ist, was ist dann [mm]\frac 1A[/mm]? Die zu A inverse Matrix?
Ist sonst noch etwas bekannt?
Ich würde zunächst mal so vorgehen:
Ist [mm]i\neq j[/mm], dann ist [mm]\delta_{ij}=0[/mm] und die Sache vereinfacht sich ziemlich.
Im Fall [mm]i=j[/mm] gilt z.B. [mm]p_{ij}=p_{kk}\delta_{ij}[/mm]. Ohne weitere Information komme ich aber (noch) nicht darauf, die Gleichung zu zeigen.
Lieben Gruß,
Fulla
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:14 Do 27.02.2014 | | Autor: | berndbrot |
Hallo Fulla,
danke erstmal!
A und B sind, meiner Meinung nach, einfach Konstanten.
[mm] p_{ij} [/mm] und [mm] q_{ij} [/mm] sind die Matrixeinträge, ja.
Die Umformung
[mm] p_{ij}=p_{kk}\delta_{ij}
[/mm]
hab ich oben schon benutzt, komm trotzdem nicht aufs Ergebnis.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:29 Do 27.02.2014 | | Autor: | berndbrot |
Hab noch ein bisschen (erfolglos) weiter gemacht.
Bin mir aber überhaupt nicht sicher ob ich überhaupt auf dem richtigen Dampfer bin:
Ausgangsgleichung ist die letzte Gleichung der Original-Frage:
[mm] q_{ij}q_{ij}=Ap_{ij}q_{ij}-Bp_{ij}q_{kk}\delta_{ij}
[/mm]
So, jetzt hab ich für die linke Seite [mm] (q_{ij}q_{ij}) [/mm] nochmal die in der Aufgabenstellung gegebene Gleichung eingesetzt. d.h:
[mm] q_{ij}q_{ij}=(Ap_{ij}-Bp_{kk}\delta_{ij})(Ap_{ij}-Bp_{kk}\delta_{ij})
[/mm]
Wenn ich das ausmultipliziere bekomm ich:
[mm] A^2p_{ij}p_{ij}-BAp_{kk}p_{ij}\delta_{ij}-BAp_{kk}p_{ij}\delta_{ij}+B^2p_{kk}p_{mm}\delta_{ii}
[/mm]
unter Berücksichtigung von [mm] \delta_{ii}=3 [/mm] und [mm] p_{kk}p_{mm}=(p_{kk})^2 [/mm] ergibt das:
[mm] A^2p_{ij}p_{ij}-(p_{kk})^2(2BA-3B^2)
[/mm]
Es folgt:
[mm] A^2p_{ij}p_{ij}-(p_{kk})^2(2BA-3B^2)=rechte [/mm] Seite der Gleichung aus der Originalfrage
Also:
[mm] A^2p_{ij}p_{ij}-(p_{kk})^2(2BA-3B^2)=Ap_{ij}q_{ij}-Bp_{ij}q_{kk}\delta_{ij}
[/mm]
Bin immer noch ratlos...
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Hallo,
> unter Berücksichtigung von [mm]\delta_{ii}=3[/mm]
ach...
> Gleichung aus der Originalfrage
Wir nähern uns dem springenden Punkt:
am besten verrätst Du uns mal die Aufgabenstellung im Originalton - mit dem einleitenden Text und vorangehenden Teilaufgben, sofern es welche gibt.
LG Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:36 Do 27.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei die Gleichung
> [mm]q_{ij}=Ap_{ij}-Bp_{kk}\delta_{ij}[/mm]
>
> Beweisen sie mit Hilfe der Gleichung dass
>
> [mm]p_{ij}=\bruch{1}{A}(q_{ij}+\bruch{B}{A-3B}q_{kk}\delta_{ij})[/mm]
>
> ist.
> Hallo,
>
> komm mit der Aufgabe nicht zurecht.
> Hier mein Lösungsweg:
>
> 1. Gleichung mit [mm]q_{ij}[/mm] multipliziert
>
> [mm]q_{ij}q_{ij}=Ap_{ij}q_{ij}-Bp_{kk}q_{ij}\delta_{ij}[/mm]
>
> 2. mit [mm]q_{mm}=q_{ij}\delta_{ij}[/mm]
>
> [mm]q_{ij}q_{ij}=Ap_{ij}q_{ij}-Bp_{kk}q_{mm}[/mm]
>
> bzw.
>
> [mm]q_{ij}q_{ij}=Ap_{ij}q_{ij}-Bp_{mm}q_{kk}[/mm]
>
> 3. mit [mm]p_{mm}=p_{ij}\delta_{ij}[/mm]
>
> [mm]q_{ij}q_{ij}=Ap_{ij}q_{ij}-Bp_{ij}q_{kk}\delta_{ij}[/mm]
>
> Jetzt bin ich aber schon mit meinem Latein am Ende :(
>
> Kann mir da bitte jemand weiterhelfen?
Nein. Das kann keiner ! Warum ? Darum:
betrachten wir die Gleichungen
(1) [mm]q_{ij}=Ap_{ij}-Bp_{kk}\delta_{ij}[/mm]
und
(2) [mm]p_{ij}=\bruch{1}{A}(q_{ij}+\bruch{B}{A-3B}q_{kk}\delta_{ij})[/mm],
so stellen wir fest:
1. [mm] q_{ij}, p_{ij}, \delta_{ij}, [/mm] A und B kommen in beiden Gleichungen vor.
2. [mm] p_{kk} [/mm] kommt in (1) vor, aber nicht in (2).
3. [mm] q_{kk} [/mm] kommt in (2) vor, aber nicht in (1).
Fazit: solange kein Zusammenhang zwischen [mm] p_{kk} [/mm] und [mm] q_{kk} [/mm] bekannt ist, ist das Unterfangen, aus (1) die Gl. (2) zu folgern, völlig aussichtslos !
Edit: gerade habe ich gelesen, dass Du weiter unten schreibst: " unter Berücksichtigung von $ [mm] \delta_{ii}=3...... [/mm] " $
Wenn das so ist, so folgt aus (1):
(3) [mm]q_{kk}=Ap_{kk}-Bp_{kk}*3[/mm]
Wenn man (1) nun nach [mm] q_{ij} [/mm] auflöst und (3) beachtet, folgt (2) !
FRED
>
> Danke,
> Bernd
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:39 Do 27.02.2014 | | Autor: | berndbrot |
Super!!!! vielen Dank!!! Wenn man weiß wie, ist es gar nicht mehr so schwierig.
Bei [mm] \delta [/mm] handelt es sich um das Kronecker Delta. Dessen Eigenschaften hätte ich wohl gleich mit angeben sollen, dann wäre das Ganze wohl weniger verwirrend gewesen. Sorry dafür.
Danke nochmal, hat sehr geholfen!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:47 Do 27.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
benutzt Du die Summenkonvention (nach Einstein)? Sowas solltest Du
dazuschreiben (ich weiß nicht, wie andere Mathematiker das sehen, aber
ich mag diese Konvention [noch immer] nicht...).
> Super!!!! vielen Dank!!! Wenn man weiß wie, ist es gar
> nicht mehr so schwierig.
>
> Bei [mm]\delta[/mm] handelt es sich um das Kronecker Delta. Dessen
> Eigenschaften hätte ich wohl gleich mit angeben sollen,
> dann wäre das Ganze wohl weniger verwirrend gewesen. Sorry
> dafür.
Ähm:
[mm] $\delta_{ij}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } i \not=j\\ 1, & \mbox{für } i=j \end{cases}$
[/mm]
Wie kommst Du zu [mm] $\delta_{ii}=3$??? [/mm] (In meiner Welt, die nicht [immer] [mm] $\IF_2$ [/mm] ist,
ist [meistens] $3 [mm] \not=1$...)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:04 Do 27.02.2014 | | Autor: | berndbrot |
Hi Marcel,
ja ich benutze die Summenkonvektion nach Einstein. Ich bin kein Mathematiker und bin mir deshalb wohl auch nicht bewusst gewesen, was man als gegeben für die Aufgabenstellung voraussetzen kann und was nicht.
zu deiner Frage:
Doppelindex [mm] \delta_{ii} [/mm] bedeutet ja immer die Aufsummierung über alles Index-Kombinationen. in meinem Fall: i=1,2,3.
d.h.: [mm] \delta_{ii}=\delta_{11}+\delta_{12}+\delta_{13}+\delta_{21}+\delta_{22}+\delta_{23}+\delta_{31}+\delta_{32}+\delta_{33}=3
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:24 Fr 28.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo bernd,
> Hi Marcel,
>
> ja ich benutze die Summenkonvektion nach Einstein. Ich bin
> kein Mathematiker und bin mir deshalb wohl auch nicht
> bewusst gewesen, was man als gegeben für die
> Aufgabenstellung voraussetzen kann und was nicht.
>
> zu deiner Frage:
>
> Doppelindex [mm]\delta_{ii}[/mm] bedeutet ja immer die Aufsummierung
> über alles Index-Kombinationen. in meinem Fall: i=1,2,3.
>
> d.h.:
> [mm]\delta_{ii}=\delta_{11}+\delta_{12}+\delta_{13}+\delta_{21}+\delta_{22}+\delta_{23}+\delta_{31}+\delta_{32}+\delta_{33}=3[/mm]
siehste - jetzt weiß ich wieder, warum ich die Konvention nicht mag:
[mm] $\delta_{ij}$
[/mm]
habe ich ja schon oben angegeben.
[mm] $\delta_{ii}$ [/mm] wäre demnach bei mir 1. Aber da muss man jetzt wohl aus dem
Zusammenhang heraus erkennen, dass bei Dir eine Summation gemeint
sein musste.
Aber klar: Z.B. Neemann schreibt in seinem Tensoranalysisbuch genau
das, was Du mit [mm] $\delta_{ii}$ [/mm] meinst, und wenn keine Summation gemeint ist,
dann wird da ein Index unterstrichen.
(Edit: Das war auch falsch - mit dem "Unterstreichen" wird schon wieder was
anderes gemeint... Also ich schreibe lieber einfach das, was ich meine, als mir
unzählige Abkürzungen auszudenken, wo man erstmal geschult werden
muss, um die immer richtig zu interpretieren...)
Mit anderen Worten: Man muss sich bei der Summenkonvention von
anderen "Klarheiten" befreien.
Wie gesagt: Ich mag' diese Konvention nicht allzusehr und sehe auch
keine Problematik, da Summenzeichen mitzunehmen. Aber Tensoranalytiker
und/oder - jedenfalls teilweise - Differentialgeometriker sehen das sicher
ein wenig anders. 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:27 Fr 28.02.2014 | | Autor: | Marcel |
P.S.
> Hi Marcel,
>
> ja ich benutze die Summenkonvektion nach Einstein. Ich bin
> kein Mathematiker und bin mir deshalb wohl auch nicht
> bewusst gewesen, was man als gegeben für die
> Aufgabenstellung voraussetzen kann und was nicht.
>
> zu deiner Frage:
>
> Doppelindex [mm]\delta_{ii}[/mm] bedeutet ja immer die Aufsummierung
> über alles Index-Kombinationen. in meinem Fall: i=1,2,3.
>
> d.h.:
> [mm]\delta_{ii}=\delta_{11}+\delta_{12}+\delta_{13}+\delta_{21}+\delta_{22}+\delta_{23}+\delta_{31}+\delta_{32}+\delta_{33}=3[/mm]
das sollte so übrigens (formal) nicht stimmen, richtig wäre
[mm] $\delta_{ii}=\sum_{k=1}^3 \delta_{kk}=\delta_{11}+\delta_{22}+\delta_{33}$
[/mm]
Auch, wenn das Ergebnis im Endeffekt "zufällig" identisch mit Deinem ist...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:02 Fr 28.02.2014 | | Autor: | berndbrot |
Ja, hast Recht. Da hab ich mich vertan...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:04 Fr 28.02.2014 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo Marcel,
erst einmal ein großes Kopfschütteln meinerseits über deine Enttäuschung über die Summenkonvention. *bitte natürlich mit Spaß verstehen*
Schau dich wirklich auch einmal in der Physik um. Du wirst schnell merken, wie praktisch diese "Summationsweise" ist. Ich finde schon, dass es sich lohnt, die ganze Sache mal genauer zu analysieren und wenigstens gedanklich aufzunehmen, auch wenn man es nicht benutzen will.
Ähnlich sind die Spielereien mit dem [mm] \epsilon-Tensor. [/mm] Absolut praktisch. Gerade für Vektorprodukte.
Zum Thema:
Ihr sagt, dass [mm] \delta_{ii}=3 [/mm] ist. Stimmt, aber nur, wenn wir in diesem Kontext gesehen, die Matrizen als 3x3-Matrizen ansehen.
Von daher ist die Aufgabenstellung immer noch absolut unvollständig. Woher kommt denn da diese verwirrende Aufgabe?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:28 Fr 28.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Richie,
> Hallo Marcel,
>
> erst einmal ein großes Kopfschütteln meinerseits über
> deine Enttäuschung über die Summenkonvention. *bitte
> natürlich mit Spaß verstehen*
>
> Schau dich wirklich auch einmal in der Physik um. Du wirst
> schnell merken, wie praktisch diese "Summationsweise" ist.
> Ich finde schon, dass es sich lohnt, die ganze Sache mal
> genauer zu analysieren und wenigstens gedanklich
> aufzunehmen, auch wenn man es nicht benutzen will.
> Ähnlich sind die Spielereien mit dem [mm]\epsilon-Tensor.[/mm]
> Absolut praktisch. Gerade für Vektorprodukte.
ja, ich bräuchte wirklich mal 'n Physiker, der mir das Zeug in der Physik
näherbringt. Gedanklich aufgenommen hatte ich das schonmal, Du
erinnerst Dich sicher auch, dass ich mit Dir auch schonmal über diese
Konvention diskutiert habe. 
> Zum Thema:
>
> Ihr sagt, dass [mm]\delta_{ii}=3[/mm] ist. Stimmt, aber nur, wenn
> wir in diesem Kontext gesehen, die Matrizen als
> 3x3-Matrizen ansehen.
Ja, er sprach ja von [mm] $i=1,2,3\,.$
[/mm]
> Von daher ist die Aufgabenstellung immer noch absolut
> unvollständig. Woher kommt denn da diese verwirrende
> Aufgabe?
Gute Frage. Aber nochmal als Nachtrag: In meiner Welt kam ich bisher
immer ganz gut ohne diese Summenkonvention zurecht, und alles, was
ich bisher gesehen habe, wo ich sie anwenden konnte, habe ich mir alles
lieber ausführlich hingeschrieben.
Aber, wie gesagt: Ich bin auch nicht so der Differentialgeometriker - bzw.
die Physiker, die das verwenden, betreiben meines Wissens nach eigentlich
auch im Wesentlichen Differentialgeometrie.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:19 Fr 28.02.2014 | | Autor: | berndbrot |
Die Aufgabe kommt aus der Kontinuums Mechanik und wurde mir so gestellt wie ursprünglich beschrieben. Nicht mehr und nicht weniger. Natürlich alles im Kontext meiner Vorlesung in der eben auch festgelegt wurde, dass i alle Zahlen von 1-3 durchläuft, außerdem wurden auch die Eigenschaften des Kronecker Deltas besprochen und festgelegt.
Bin absoluter Neuling im Gebiet der Indexschreibweise/Summenkonvention etc. deshalb kam mir gar nicht in den Sinn, dass in anderen Disziplinen i eventuell noch andere Werte annehmen könnte. Kann mir aber vorstellen, dass das bei einigen Mathematikern auf Unverständnis stößt. ;)
Ich verspreche Besserung!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:35 Sa 01.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Bernd,
> Die Aufgabe kommt aus der Kontinuums Mechanik und wurde mir
> so gestellt wie ursprünglich beschrieben. Nicht mehr und
> nicht weniger. Natürlich alles im Kontext meiner Vorlesung
> in der eben auch festgelegt wurde, dass i alle Zahlen von
> 1-3 durchläuft, außerdem wurden auch die Eigenschaften
> des Kronecker Deltas besprochen und festgelegt.
> Bin absoluter Neuling im Gebiet der
> Indexschreibweise/Summenkonvention etc. deshalb kam mir gar
> nicht in den Sinn, dass in anderen Disziplinen i eventuell
> noch andere Werte annehmen könnte. Kann mir aber
> vorstellen, dass das bei einigen Mathematikern auf
> Unverständnis stößt. ;)
man stoßt bei mir damit nicht auf Unverständnis, ich arbeite halt nur (noch)
nicht gerne so.
> Ich verspreche Besserung!
Brauchst Du nicht. Einfach die Zusatzhinweise:
"Einsteinsche Summenkonvention, i=1,2,3"
reichen.
( Einfach kurz Stichwortartig das erwähnen, was vielleicht nicht immer
überall *gleich* sein wird. Ich meine, Du würdest jetzt auch nicht
anfangen, die Bedeutung des Summenzeichens zu erkären... )
Gruß,
Marcel
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