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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 Do 05.11.2009 | | Autor: | Brandon |
| Aufgabe 1 | Direkter und Indirekter Beweis (Widerspruchsbeweis)
Wir wollen beweisen, dass f¨ur beliebige a > 0 und b > 0 die folgende Ungleichung gilt:
[mm] \bruch{a}{b}+\bruch{b}{a} \ge [/mm] 2
(a) Direkter Beweis
Zeigen Sie die Behauptung ”direkt“, d.h. starten Sie mit einer wahren Aussage und folgern Sie hieraus die
Behauptung.
Tipp: Starten Sie unter Verwendung einer binomischen Formel und leiten sie hieraus die obige Ungleichung
ab.
(b) Indirekter Beweis oder Widerspruchsbeweis
Nehmen Sie nun an, die Behauptung w¨are falsch, und f¨uhren Sie dies zu einem Widerspruch. Folgern Sie
hieraus, dass die Behauptung stimmen muss. |
| Aufgabe 2 | Aufgabe (schriftlich): Beweisen Sie mit Hilfe des Prinzips der vollst¨andigen Induktion die nachfolgende Aussage:
(a) [mm] \summe_{k=1}^{n}k³ [/mm] = [mm] \bruch{n2(n + 1)²}{4}
[/mm]
(b) [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] k² = [mm] \bruch{n(n + 1)(2n + 1)}{6} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe seit einem Monat mit meinem Studium der Bio angefangen aber die Mathematik verstehe Ich einfach nicht.
Unser Dozent gibt uns jede Woche ein paar Aufgaben, aber ich Blick leider überhaupt nicht durch bei (in)direkten Beweisen und vollständiger Induktion. Ich hoffe ihr könnt mir dabei ein wenig weiterhelfen.
Die Aufgaben finden sich auch hier: http://www.mi.uni-koeln.de/~dhorst/Uebung%203.pdf
Grüße aus Köln
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:45 Do 05.11.2009 | | Autor: | iks |
Guten Abend!
> Direkter und Indirekter Beweis (Widerspruchsbeweis)
> Wir wollen beweisen, dass f¨ur beliebige a > 0 und b > 0
> die folgende Ungleichung gilt:
> [mm]\bruch{a}{b}+\bruch{b}{a} \ge[/mm] 2
>
> (a) Direkter Beweis
> Zeigen Sie die Behauptung ”direkt“, d.h. starten Sie
> mit einer wahren Aussage und folgern Sie hieraus die
> Behauptung.
> Tipp: Starten Sie unter Verwendung einer binomischen
> Formel und leiten sie hieraus die obige Ungleichung
> ab.
Aus einer falschen Aussage kann durchaus auch was Wahres folgen.
Darum mußt du bei einer direkten Überfuhrung deiner Ungleichung in eine wahre Aussage zu jedem Umformungsschritt auch zeigen, das er in die "andere Richtung" auch gilt.
Das kann manchmal diffiziel sein. Darum ist es bei Ungleichungen oft besser eine wahre Aussage zu nehmen und die Ungleichung aus ihr herzuleiten.
Doch wie komme ich auf diese wahre Aussage, die mich dann auch zur Ungleichung führt?
Den direkten Weg zur wahren Aussage wählen und dan alles in umgekehrter Reihenfolge aufschreiben.
Dazu die Brüche der rechten Seite gleichnamig machen die Ungleichung mit dem entstandenen Nenner durchmultiplizieren - "alles auf eine Seite bringen" und dann die binimoschen Formel anwenden. Deine wahre Aussage ist dan:
Für [mm] $0
Diese überführst du nun wieder in deine ursprüngliche Ungleichung und fertig.
> (b) Indirekter Beweis oder Widerspruchsbeweis
> Nehmen Sie nun an, die Behauptung w¨are falsch, und
> f¨uhren Sie dies zu einem Widerspruch. Folgern Sie
> hieraus, dass die Behauptung stimmen muss.
Nimm an deine Aussage wäre falsch. Dann existieren also [mm] $0
mFg iks
PS: Schau dich mal mit Hilfe der Suchfunktion im Forum nach vollständiger Induktion um - Da findest du bestimmt schon ein wenig Hilfe. Wenn das noch nicht reichen sollte, dann schreib hier wie weit du bist und wo du noch Schwierigkeiten hast.
nochmals iks
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:23 Do 05.11.2009 | | Autor: | nooschi |
zur aufgabe 2:
a) Induktion nach n:
Induktionsanfang: zeige, dass die Aussage für n=1 stimmt:
$ [mm] \summe_{k=1}^{1}k^{3} [/mm] $ = [mm] 1^{3} [/mm] = 1 = $ [mm] \bruch{2(1 + 1)}{4} [/mm] $
Induktionsvoraussetzung:
$ [mm] \summe_{k=1}^{n}k^{3} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{n2(n + 1)}{4} [/mm] $
Induktionsschritt: zeige dass die Formel stimmt, wenn du für n n+1 einsetzst:
also: zu zeigen: $ [mm] \summe_{k=1}^{n + 1}k^{3} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{(n+1)2(n+2)}{4} [/mm] $
$ [mm] \summe_{k=1}^{n + 1}k^{3} [/mm] $ = $ [mm] \summe_{k=1}^{n}k^{3} [/mm] $ + [mm] (n+1)^{3} [/mm] =
(nach Induktionsvoraussetzung) $ [mm] \bruch{n2(n + 1)}{4} [/mm] $ + [mm] (n+1)^{3} [/mm] =
$ [mm] \bruch{n2(n + 1) + 4(n+1)^{3}}{4} [/mm] $ =
$ [mm] \bruch{(2n^{2} + 2n) + 4(n^{3}+ 3n^{2} + 3n + 1)}{4} [/mm] $ =
$ [mm] \bruch{2n^{2} + 2n + 4n^{3}+ 12n^{2} + 12n + 4)}{4} [/mm] $ =
$ [mm] \bruch{2(2n^{3} + 7n^{2} + 7n + 2)}{4} [/mm] $ =
aah es ist zu mühsam das hier aufzuschreiben, wobei ich fast die vermutung habe, dass ich einen rec henfehler gemacht habe
oke hier der zweite versuch
zur aufgabe 2:
a) Induktion nach n:
Induktionsanfang: zeige, dass die Aussage für n=1 stimmt:
$ [mm] \summe_{k=1}^{1}k^{3} [/mm] $ = $ [mm] 1^{3} [/mm] $ = 1 = $ [mm] \bruch{1^{2}(1 + 1)^{2}}{4} [/mm] $
Induktionsvoraussetzung:
$ [mm] \summe_{k=1}^{n}k^{3} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{n^{2}(n + 1)^{2}}{4} [/mm] $
Induktionsschritt: zeige dass die Formel stimmt, wenn du für n n+1 einsetzst:
also: zu zeigen: $ [mm] \summe_{k=1}^{n + 1}k^{3} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{(n+1)^{2}(n+2)^{2}}{4} [/mm] $
$ [mm] \summe_{k=1}^{n + 1}k^{3} [/mm] $ = $ [mm] \summe_{k=1}^{n}k^{3} [/mm] $ + $ [mm] (n+1)^{3} [/mm] $ =
(nach Induktionsvoraussetzung) $ [mm] \bruch{n^{2}(n + 1)^{2}}{4} [/mm] $ + $ [mm] (n+1)^{3} [/mm] $ =
$ [mm] \bruch{n^{2}(n^{2} + 2n + 1) + 4(n+1)^{3}}{4} [/mm] $ =
$ [mm] \bruch{(n^{4} + 2n^{3} + n^{2}) + 4(n^{3}+ 3n^{2} + 3n + 1)}{4} [/mm] $ =
$ [mm] \bruch{n^{4} + 6n^{3} + 13n^{2} + 12n + 4}{4} [/mm] $ =
$ [mm] \bruch{(n^{2} + 2n + 1)(n^{2} + 4n + 4)}{4} [/mm] $ =
$ [mm] \bruch{((n + 1)^{2}(n + 2)^{2}}{4} [/mm] $ (das war zu zeigen)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:58 Fr 06.11.2009 | | Autor: | iks |
Hallo nooschi!
Bevor du an der Aufgabe verzweifelst:
[mm] $\sum_{k=1}^n k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$
[/mm]
bitte damit weitermachen
mFg iks
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:30 Fr 06.11.2009 | | Autor: | nooschi |
ich hab die Lösung für 2a jetzt in den obigen Beitrag reineditiert
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