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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:17 So 26.11.2006 | | Autor: | n3cRo |
| Aufgabe | | Seien f: D -> E und g: E -> D Funktionen mit g(f(x)) = x für alle x Element D. Ist eine solche Funktion f immer injektiv bzw. surjektiv? Ist eine solche Funktion g immer injektiv bzw. surjektiv? |
Wie genau komm ich hier auf die Lösung? Ich sehe nur zwei identische Funktionen f(x) = x und g(y) = y. Kann mir jemand mal auf simpel erklären wie ich die Aufgabe zu verstehen hab und wie man auf die Lösung kommt? Habe schon soviele Leute und Foren befragt und nie ne einfache Lösung bzw. Erklärung gekommen =(
Danke
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
www.matheboard.de
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> Seien f: D -> E und g: E -> D Funktionen mit g(f(x)) = x
> für alle x Element D. Ist eine solche Funktion f immer
> injektiv bzw. surjektiv? Ist eine solche Funktion g immer
> injektiv bzw. surjektiv?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Wie genau komm ich hier auf die Lösung? Ich sehe nur zwei
> identische Funktionen f(x) = x und g(y) = y.
Damit unterläuft Dir ein Fehler ganz zu Beginn.
Wir haben es mit drei Funktionen zu tun, mit f,g und g [mm] \circ [/mm] f.
Die einzige Funktion, über die wir Genaueres wissen, ist g [mm] \circ [/mm] f:
g [mm] \circ [/mm] f: D [mm] \to [/mm] D mit
(g [mm] \circ [/mm] f)(x)=g(f(x)):=x.
Also ist g [mm] \circ [/mm] f die Funktion, die jedes Element von D auf sich selbst abbildet. (Also ist g [mm] \circ [/mm] f bijektiv.)
Über f und g wissen wir gar nichts, außer eben, daß die Verkettung die Identität ist.
Eine der Fragen lautet: muß f injektiv sein, oder kann so etwas auch mit einer nicht injektiven Fuktion klappen?
Solche Fragen versuche ich mir immer mit Pünktchenmengen und Pfeilen klarzumachen. (Aufmalen!)
Also Pünktchenmenge D, Pünktchenmenge E. f nicht injektiv, also wird ein Pünktchen von E von zwei Pfeilen getroffen. Auf welches Element soll g nun dieses doppeltgetroffene abbilden?
Erkennst Du das Problem?
Wenn ja, muß es nur noch formalisiert werden.
Angenommen f wäre nicht injektiv.
Dann gibt es [mm] x_1, x_2 \in [/mm] D
mit [mm] x_1\not=x_2 [/mm] und [mm] f(x_1)=f(x_2) [/mm] (d.h. zwei verschiedene Elemente werden auf ein und dasselbe abgebildet.)
==> [mm] g(f(x_1))=g(f(x_2))
[/mm]
==> .... , was ein Widerspruch zu ... ist.
Ähnliche Überlegungen sind auch für die anderen Fragen anzustellen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Mo 27.11.2006 | | Autor: | n3cRo |
Danke nochmals für die obige Erklärung. Jetzt weiß ich also das f nicht injektiv sein kann, muss ich für den Fall jetzt noch prüfen wie es sich mit der (Nicht-)Surjektivität von g verhält? Bzw. mit welcher Gleichung kann ich das allgemein prüfen?
und muss ich dann noch die 4 fälle prüfen
f injektiv: g (nicht) injektiv/ (nicht) surjektiv??
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> Danke nochmals für die obige Erklärung. Jetzt weiß ich also
> das f nicht injektiv sein kann,
Neiiiiiiiiiiiiin!!!!
Du solltest wissen, daß f nicht nicht injektiv sein kann, also injektiv sein muß. Denk an die Pünktchen.
muss ich für den Fall jetzt
> noch prüfen wie es sich mit der (Nicht-)Surjektivität von g
> verhält?
Ja.
>Bzw. mit welcher Gleichung kann ich das allgemein
> prüfen?
Überleg, Dir, was Surjektivität bedeutet und laß Dich von kleinen Bildern anregen.
Eine Gleichung habe ich nicht so recht auf Lager. Außer natürlich g(E)=D.
Zu prufen ist:
muß f injektiv sein?
Muß f surjektiv sein?
Muß g injektiv sein?
Muß b surjektiv sein?
Berechtigte fragen, da ja g [mm] \circ [/mm] f bijektiv ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Mo 27.11.2006 | | Autor: | n3cRo |
Hi,
ja entschuldigung, ich hatte eben das nicht beim nicht nicht injektiv vergessen ;)
Also ok fall 1 ist klar.
wenn ich mir jetzt das pünktchenbild für f ist surjektiv angucke trifft jeden y wert 1 oder kein pfeil, da man diese elemente auch durch g einfach abbilden kann muss f also auch surjektiv und damit bijektiv sein, lieg ich da richtig? =)
aber wie genau soll ich jetzt die gleich für g aufstellen?! einfach die pfeile in die andere richtung - wohl kaum oder?!
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>
> wenn ich mir jetzt das pünktchenbild für f ist surjektiv
> angucke trifft jeden y wert 1 oder kein pfeil,
Hallo,
kannst Du mal sagen, wie surjektiv definiert ist?
Paßt Deine Beschreibung zu "surjektiv"?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:55 Di 28.11.2006 | | Autor: | n3cRo |
Surjektiv heißt für mich: zu jedem Element y mindestens ein Argument x.
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> Surjektiv heißt für mich: zu jedem Element y mindestens ein
> Argument x.
Eben.
Du schriebst:
"wenn ich mir jetzt das pünktchenbild für f ist surjektiv angucke trifft jeden y wert 1 oder kein pfeil..."
Deshalb nochmal meine Frage: paßt das zu "f ist surjektiv"?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Di 28.11.2006 | | Autor: | n3cRo |
ok also f muss nur injektiv sein,
aber mit welchen bedingungen kann ich jetzt g auf in bzw. surjektivität prüfen? oder wie muss ich mir nun das bild vorstellen?
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> aber mit welchen bedingungen kann ich jetzt g auf in bzw.
> surjektivität prüfen? oder wie muss ich mir nun das bild
> vorstellen?
Du mußt Dir jetzt überlegen, wie Du von der Menge E mit g in die Menge D "zurück"kommst.
Was ist, wenn g nicht surjektiv ist?
Ist Dir eine Situation denkbar, in der das ganze nicht klappt, wenn g injektiv ist?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Di 28.11.2006 | | Autor: | n3cRo |
wenn g nicht surjektiv ist könnte es ja auch pünktchen in e geben die keinen feil nach d haben und somit könnte ich nicht alle pünktchen zurückabbilden, also müsste g surjektiv sein?!
und es kann nicht injektiv sein da (injektiv, wenn zu jedem funktionswert y höchstens ein argument x) man dann auch pünktchen in e haben kann die keinem x zugeordnet wären und somit kann man auch nicht alle pünktchen zurückabbilden.
also ist g surjektiv
und f injektiv
richtige begründung oder total falsch gedacht? :)
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Hallo,
es wäre zum Lesen schon hilfreich, wenn Du hin und wieder Großbuchstaben verwenden würdest, z.B. zur besseren Unterscheidbarkeit von Mengen und Elementen.
> wenn g nicht surjektiv ist könnte es ja auch pünktchen in e
> geben die keinen feil nach d haben und somit könnte ich
> nicht alle pünktchen zurückabbilden, also müsste g
> surjektiv sein?!
Nee, anders.
g: E --> D.
Also würde von g im nichtsurjektiven Fall nicht jedes Element aus D getroffen werden.
> und es kann nicht injektiv sein da (injektiv, wenn zu jedem
> funktionswert y höchstens ein argument x) man dann auch
> pünktchen in e haben kann
denen kein x zugeordnet wird.
Und wenn das so wäre, wäre g keine Funktion.
Noch ein Hinweis: diese kleinen "Erzählungen" sind fürs Verständnis äußerst wichtig und Voraussetzung für eien formalen Beweis. Dieser aber muß folgen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 Di 28.11.2006 | | Autor: | n3cRo |
Also halt ich jetzt mal fest das f injektiv und g surjektiv sein muss.
Aber wie soll ich das den formell beweisen? Ich meine die "Herleitung" in der ersten Antwort leuchtet ja ein, aber für surjektivität kenne ich leider keine Formel in die ich x1 und x2 o.ä. einsetzten könnte =(
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> Also halt ich jetzt mal fest das f injektiv und g surjektiv
> sein muss.
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> Aber wie soll ich das den formell beweisen? Ich meine die
> "Herleitung" in der ersten Antwort leuchtet ja ein, aber
> für surjektivität kenne ich leider keine Formel in die ich
> x1 und x2 o.ä. einsetzten könnte =(
Nimm halt an, daß g nicht surjektiv ist, und führe das zu einem Widerspruch.
Wenn g nicht surjektiv ist, gibt es ein d [mm] \in [/mm] D ...
Daß f nicht in jedem Fall surjektiv sein muß und g nicht inbedingt injektiv, zeigst du an entsprechenden Beispielen.
Gruiß v. Angela
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