ε-δ-Definition der Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:22 Fr 09.12.2016 | | Autor: | X3nion |
Guten Abend zusammen 
Ich habe Fragen zum Satz der "ε-δ-Definition der Stetigkeit".
Im Forster lautet der Satz wie folgt:
Sei D [mm] \subset \IR [/mm] und f: D [mm] \rightarrow \IR [/mm] eine Funktion. f ist genau dann im Punkt p [mm] \in [/mm] D stetig, wenn gilt:
Zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 existiert ein [mm] \delta [/mm] > 0, sodass
|f(x) - f(p)| < [mm] \epsilon \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D mit |x-p| < [mm] \delta
[/mm]
Beweis (nur Hin-Richtung, denn die Rück-Richtung habe ich verstanden)
Für jede Folge [mm] x_n \in [/mm] D mit lim [mm] x_n [/mm] = p gelte [mm] lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n) [/mm] = f(p). Es ist zu zeigen:
Zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 existiert ein [mm] \delta [/mm] > 0, sodass
|f(x) - f(p)| < [mm] \epsilon \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D mit |x-p| < [mm] \delta.
[/mm]
Angenommen, dies sei nicht der Fall. Dann gibt es ein [mm] \epsilon [/mm] > 0, sodass kein [mm] \delta [/mm] > 0 existiert mit |f(x) - f(p)| < [mm] \epsilon \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D mit |x-p| < [mm] \delta. [/mm] Es existiert also zu jedem [mm] \delta [/mm] > 0 wenigstens ein x [mm] \in [/mm] D mit |x-p| < [mm] \delta, [/mm] aber |f(x) - f(p)| [mm] \ge \epsilon.
[/mm]
Insbesondere gibt es dann für jede natürliche Zahl n [mm] \ge [/mm] 1 ein [mm] x_n \in [/mm] D mit
[mm] |x_n [/mm] - p| < [mm] \frac{1}{n} [/mm] und [mm] |f(x_n) [/mm] - f(p)| [mm] \ge \epsilon.
[/mm]
Folglich ist lim [mm] x_n [/mm] = p und daher nach Voraussetzung lim [mm] f(x_n) [/mm] = f(p) Dies steht aber im Widerspruch zu [mm] |f(x_n) [/mm] - f(p)| [mm] \ge \epsilon \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1.
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Nun zu meinen Verständnisproblemen:
1) Zuerst einmal tue ich mir mit der Annahme des Gegenteils aus.
Wenn ich die Aussage "Zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 existiert ein [mm] \delta [/mm] > 0, sodass
|f(x) - f(p)| < [mm] \epsilon \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D mit |x-p| < [mm] \delta" [/mm] verneine, so erhalte ich erst einmal die Aussage, dass es ein [mm] \epsilon [/mm] > 0 gibt, sodass kein [mm] \delta [/mm] > 0 existiert mit den gewünschten Eigenschaften (also |f(x) - f(p)| < [mm] \epsilon \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D mit |x-p| < [mm] \delta). [/mm] Das verstehe ich noch!
Aber wieso kann man dann schreiben "Es existiert also zu jedem [mm] \delta [/mm] > 0 wenigstens ein x [mm] \in [/mm] D mit |x-p| < [mm] \delta, [/mm] aber |f(x) - f(p)| [mm] \ge \epsilon." [/mm] ?
Es wird ja 'kein [mm] \delta [/mm] > 0' zu 'für alle [mm] \delta [/mm] > 0" umgedreht, '|f(x) - f(p)| < [mm] \epsilon' [/mm] wird umgedreht zu 'f(x) - f(p)| [mm] \ge \epsilon' [/mm] und [mm] '\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D mit |x-p| < [mm] \delta' [/mm] wird umgedreht zu [mm] '\exists [/mm] x [mm] \in [/mm] D mit |x-p| < [mm] \delta'
[/mm]
2) Ist [mm] x_n [/mm] gegen p konvergent, da [mm] |x_n [/mm] - p| < [mm] \frac{1}{n} [/mm] und da [mm] \frac{1}{n} [/mm] eine Nullfolge ist und für n -> [mm] \infty [/mm] gegen 0 konvergiert, und deshalb auch [mm] |x_n [/mm] - p| gegen 0 konvergiert?
Für eure Antworten zum Verständnis wäre ich wie immer dankbar!
Viele Grüße,
X3nion
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Hallo X3nion,
es geht darum: Angenommen $ f $ sei stetig in $ p $. aber die [mm] $\varepsilon-\delta$-Bedingung [/mm] sei nicht erfüllt.
Dann existiert ein [mm] $\varepsilon_0>0$ [/mm] so, dass man zwar zu jedem $ [mm] \delta [/mm] > 0 $ ein $ x = [mm] x_{\delta}$ [/mm] findet für das $ [mm] \vert x_{\delta} [/mm] - p [mm] \vert [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] aber $ [mm] \vert f(x_{\delta}) [/mm] - f(p) [mm] \vert \ge \varepsilon_0 [/mm] $
Da du zu jedem $ [mm] \delta$ [/mm] ein solches $ [mm] x_{\delta}$ [/mm] findest, findest du insbesondere zu jedem natürlichen $ n $ ein [mm] $x_n$ [/mm] so dass $ [mm] \vert x_{n} [/mm] - p [mm] \vert [/mm] < [mm] \frac{1}{n}$, [/mm] wobei nach wie vor $ [mm] \vert f(x_{n}) [/mm] - f(p) [mm] \vert \ge \varepsilon_0 [/mm] $ (das war ja unsere Bedingung an $ [mm] \varepsilon_0$)
[/mm]
Aus $ [mm] \vert x_{n} [/mm] - p [mm] \vert [/mm] < [mm] \frac{1}{n}$ [/mm] folgt aber dass $ [mm] x_n \to [/mm] p $ aber $ [mm] f(x_n) \not\to [/mm] f(p)$ [mm] (f(x_n) [/mm] konvergiert also nicht gegen $f(p)$), obwohl $ [mm] x_n \to [/mm] p $.
Das steht aber im Widerspruch zu unserer Voraussetzung, dass $ f $ stetig sei in $ p $. Also muss die [mm] $\varepsilon-\delta$Bedingung [/mm] doch erfüllt sein.
Zur Erinnerung: Eine Funktion $ f $ ist stetig im Punkt p wenn aus $ [mm] x_n \to [/mm] p$ folgt dass $ [mm] f(x_n) \to [/mm] f(p)$.
LG,
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Fr 09.12.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo ChopSuey,
vorerst sage ich Danke für deine Antwort!
Ich habe noch einmal konkret darüber nachgedacht und nun macht mir die Negation der [mm] \epsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] Definition Sinn!
Eine kurze Frage habe ich aber noch:
Ist [mm] x_n [/mm] gegen p konvergent, da [mm] \frac{1}{n} [/mm] für n [mm] \rightarrow \infty [/mm] eine Nullfolge ist und wegen [mm] |x_n [/mm] - p| < [mm] \frac{1}{n} [/mm] der Abstand von [mm] x_n [/mm] und p somit gegen 0 konvergiert?
VG X3nion
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> Hallo ChopSuey,
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> vorerst sage ich Danke für deine Antwort!
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> Ich habe noch einmal konkret darüber nachgedacht und nun
> macht mir die Negation der [mm]\epsilon[/mm] - [mm]\delta[/mm] Definition
> Sinn!
>
> Eine kurze Frage habe ich aber noch:
>
> Ist [mm]x_n[/mm] gegen p konvergent, da [mm]\frac{1}{n}[/mm] für n
> [mm]\rightarrow \infty[/mm] eine Nullfolge ist und wegen [mm]|x_n[/mm] - p| <
> [mm]\frac{1}{n}[/mm] der Abstand von [mm]x_n[/mm] und p somit gegen 0
> konvergiert?
Dass du zu jedem $ n $ ein $ [mm] x_n$ [/mm] finden kannst so dass $ [mm] \vert x_n [/mm] - p [mm] \vert [/mm] < [mm] \frac{1}{n}$ [/mm] ist gleichbedeutend mit $ [mm] x_n \to [/mm] p $.
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> VG X3nion
LG,
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:29 Sa 10.12.2016 | | Autor: | X3nion |
Okay dankeschön, jetzt habe ich es verstanden!
VG X3nion
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