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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass durch [mm] \sin x + \sin y + e^{xy} = 1 [/mm] in einer Umgebung von $(0,0)$ eine Funktion $y=y(x)$ erklärt ist, so dass dort [mm] $\sin [/mm] x + [mm] \sin [/mm] y + [mm] e^{xy} [/mm] = 1$ genau dann gilt, wenn $y=y(x)$ ist.
Berechnen Sie $y''(x)$ |
Hallo, ich habe die oben angegebene Aufgabe zu lösen. Leider bin ich mir nicht sicher, wie man hier vorgeht. Für den ersten Teil der Aufgabe würde ich den Satz über implizite Funktionen verwenden. Dafür muss die Jacobi-Matrix bezüglich der 2. Komponente berechnet werden. Bedeutet das hier die Jacobi-Matrix bezüglich y? Wäre dann
[mm] $\left( \frac{\partial F}{\partial y} \right) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \cos y + x \cdot e^{xy} \end{pmatrix}$
[/mm]
die zugehörige Matrix?
Damit wäre schon alles gezeigt, weil die Matrix für $(0,0)$ zu $1$ wird und damit invertierbar ist, so dass die Funktion auch in einer Umgebung von $(0,0)$ erklärt ist. Ist das korrekt?
2. Teil
Berechnung der 1. Ableitung:
[mm] $\frac{d}{dx} [/mm] F = [mm] \cos [/mm] x + [mm] \cos [/mm] y [mm] \, [/mm] y' + [mm] e^{xy} \, [/mm] (y+ x [mm] \, [/mm] y') = 0$
bei der zweiten Ableitung erhählt man
$- [mm] \sin [/mm] x - [mm] \sin [/mm] y [mm] \, [/mm] y'^2 + [mm] \cos [/mm] y [mm] \, [/mm] y'' + [mm] e^{xy} \, [/mm] ( y + [mm] xy')^2 [/mm] + [mm] e^{xy} \, [/mm] (y'' + y' + x [mm] \, [/mm] y'') = 0$
dies lässt sich umformen zu
$ y '' = [mm] \frac{\sin x + \sin y \, y'^2 - e^{xy} \, y'}{\cox y + e^{xy} \, (1+x)}$
[/mm]
einsetzen von $x=0$ ergibt
$ y'' = [mm] \frac{\sin y \, (y'^2) - y'}{\cos y +1}$
[/mm]
Weiter kann ich nicht vereinfachen weil ich ja die Abhängigkeit von y von x nicht kenne
Ich danke für eure bemühungen
Ich habe diese frage sonst nirgendwo gestellt
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Hallo wunderbar,
> Zeigen Sie, dass durch [mm]\sin x + \sin y + e^{xy} = 1[/mm] in
> einer Umgebung von [mm](0,0)[/mm] eine Funktion [mm]y=y(x)[/mm] erklärt ist,
> so dass dort [mm]\sin x + \sin y + e^{xy} = 1[/mm] genau dann gilt,
> wenn [mm]y=y(x)[/mm] ist.
> Berechnen Sie [mm]y''(x)[/mm]
> Hallo, ich habe die oben angegebene Aufgabe zu lösen.
> Leider bin ich mir nicht sicher, wie man hier vorgeht. Für
> den ersten Teil der Aufgabe würde ich den Satz über
> implizite Funktionen verwenden. Dafür muss die
> Jacobi-Matrix bezüglich der 2. Komponente berechnet werden.
> Bedeutet das hier die Jacobi-Matrix bezüglich y? Wäre dann
> [mm]\left( \frac{\partial F}{\partial y} \right) = \begin{pmatrix} \cos y + x \cdot e^{xy} \end{pmatrix}[/mm]
>
> die zugehörige Matrix?
> Damit wäre schon alles gezeigt, weil die Matrix für [mm](0,0)[/mm]
> zu [mm]1[/mm] wird und damit invertierbar ist, so dass die Funktion
> auch in einer Umgebung von [mm](0,0)[/mm] erklärt ist. Ist das
> korrekt?
Ja.
>
> 2. Teil
> Berechnung der 1. Ableitung:
> [mm]\frac{d}{dx} F = \cos x + \cos y \, y' + e^{xy} \, (y+ x \, y') = 0[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> bei der zweiten Ableitung erhählt man
> [mm]- \sin x - \sin y \, y'^2 + \cos y \, y'' + e^{xy} \, ( y + xy')^2 + e^{xy} \, (y'' + y' + x \, y'') = 0[/mm]
>
Es muß doch so heißen:
[mm]- \sin x - \sin y \, y'^2 + \cos y \, y'' + e^{xy} \, ( y + xy')^2 + e^{xy} \, (\red{y'} + y' + x \, y'') = 0[/mm]
> dies lässt sich umformen zu
> [mm]y '' = \frac{\sin x + \sin y \, y'^2 - e^{xy} \, y'}{\cox y + e^{xy} \, (1+x)}[/mm]
>
> einsetzen von [mm]x=0[/mm] ergibt
> [mm]y'' = \frac{\sin y \, (y'^2) - y'}{\cos y +1}[/mm]
Das ist dann der Wert der 2. Ableitung an der Stelle x=0.
> Weiter kann
> ich nicht vereinfachen weil ich ja die Abhängigkeit von y
> von x nicht kenne
>
> Ich danke für eure bemühungen
> Ich habe diese frage sonst nirgendwo gestellt
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:31 Fr 23.01.2009 | | Autor: | wunderbar |
Hallo MathePower,
> Es muß doch so heißen:
>
> [mm]- \sin x - \sin y \, y'^2 + \cos y \, y'' + e^{xy} \, ( y + xy')^2 + e^{xy} \, (\red{y'} + y' + x \, y'') = 0[/mm]
>
stimmt genau! so ist die korrekte Ableitung.
> > einsetzen von [mm]x=0[/mm] ergibt
> > [mm]y'' = \frac{\sin y \, (y'^2) - y'}{\cos y +1}[/mm]
>
>
> Das ist dann der Wert der 2. Ableitung an der Stelle x=0.
Japp, sollte es auch sein, habe in der Aufgabenstellung $y''(x)$ anstatt $y''(0)$ geschrieben.
Ich danke für deine Hilfe!
Beste Grüße
Wunderbar
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