Implikationen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Di 01.07.2014 | | Autor: | Qight |
| Aufgabe | Seien a,b [mm] \in \IR [/mm] mit a<b und sei
i) I = (a,b)
ii) I = [a,b]
Sei f: I [mm] \to \IR [/mm] eine Funktion. Geben Sie für jede Implikation zwischen den Aussagen
1) f ist stetig
2) f ist gleichmäßig stetig
3) f ist lipschitz-beschränkt
einen Beweis oder ein Gegenbeispiel an. |
Ganz sicher bin ich mir mit den Implikationen noch nicht. Muss ich zeigen, dass aus Stetigkeit glm. Stetigkeit folgt, (was nicht der Fall ist) oder reicht es wenn ich die Implikation glm. Stetigkeit folgt Stetigkeit zeige. Dann kann ich nämlich aus Lipschitz-beschränkt folgern, dass sie glm stetig ist und somit ja auch wieder stetig.
Zu ii)
Ich habe ein Beispiel für eine Funktion, die glm stetig ist aber nicht lipschitz-beschränkt, nämlich [mm] \wurzel{x} [/mm] in [mm] [0, \infty) [/mm] .
Bin noch nicht ganz sicher was genau ich alles zeigen soll.
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Hi,
du musst folgendes einschätzen:
Gilt
[mm] 1)\Rightarrow2)
[/mm]
[mm] 2)\Rightarrow3)
[/mm]
[mm] 3)\Rightarrow1)
[/mm]
?
Dann: Gelten auch die Rückrichtungen?
Gilt also
[mm] 1)\Leftarrow2)
[/mm]
[mm] 2)\Leftarrow3)
[/mm]
[mm] 3)\Leftarrow1)
[/mm]
Wenn die Aussagen wahr sind: Beweise dies.
Wenn die Aussagen falsch sind: Gib ein Beispiel dafür an, dass die Behauptung in der Tat nicht stimmt.
Beispiel also:
Beweise, dass glm. stetigkeit auch die "normale" stetigkeit impliziert.
Gib aber ein Bsp. dafür an, dass nicht jede stetige Funktion gleichmäßig stetig ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Di 01.07.2014 | | Autor: | Qight |
Danke für die schnelle Antwort.
Wie soll ich zeigen, dass aus gleichmäßig stetig folgt stetig, dass sehe ich noch nicht.
Aus Lipschitz-Steigkeit folgt glm stetig:
Sei [mm] \epsilon [/mm] > 0 beliebig. Wähle [mm] \delta = \bruch{\epsilon}{L} [/mm]. Da f Lipschitz-beschränkt gilt für x, y [mm] \in [/mm] I mit [mm] |x-y| < \delta [/mm]:
[mm] |f (x) - f(y)| \subseteq L * |x-y| < L * \delta = L * \bruch{\epsilon}{L} = \epsilon [/mm]
Somit ist f gleichmäßig stetig. Dürfte auch für beide Fälle sprich i) und ii) gelten.
Gilt aus gleichmäßige Stetigkeit lipschitzstetig im Fall I = (a,b). Hier eine Frage. Ich hätte ja mit der Wurzelfunktion begründet, diese ist aber nur im Punkt 0 eben nicht so definiert, dass sie lipschitz stetig ist, sonst schon. Wenn man also das nicht abgeschlossene Intervall betrachtet, kann ich dann immer noch mit [mm] \wurzel{x} [/mm] gegründen?
Zu ii) ist für [mm][0, \infty) [/mm] ist [mm] \wurzel{x} [/mm] auf alle Fälle nicht lipschitz stetig.
bei ii) ist noch der besondere Fall zu betrachten, dass im abgeschlossenen Intervall aus stetigkeit glm. stetigkeit folgt.
Beweis. Widerspruchsbeweis:
Ist f nicht glm stetig, so gibt es ein [mm] \epsilon [/mm] > 0 und zu jedem n [mm] \in \IN [/mm] Punkte [mm] x_n, y_n \in [/mm] [a,b], so dass [mm] |x_n - y_n| < \bruch{1}{n} [/mm] und [mm] | f(x_n) - f(y_n)| \ge \epsilon [/mm] . Nach Satz Bolzano-Weierstaß besitzt die beschränkte Folge [mm] (x_n)_{n \in \IN } [/mm] eine konvergente Teilfolge [mm] (x_n_k)_{k \in \IN } [/mm] , deren Grenzwert g im Intervall [a,b] enthalten ist. Wegen [mm] [mm] |x_n_k [/mm] - [mm] y_n_k| [/mm] < [mm] \bruch{1}{n_k} [/mm] ist g ebenfalls Grenzwert von
[mm] (y_n_k)_{k \in \IN }. [/mm] Aus Stetigkeit von f folgt [mm] f(x_n_k) \to [/mm] f(x) und [mm] f(y_n_k) \to [/mm] f(x). Daher gibt es ein [mm] k_0 [/mm] , so dass [mm] |f(x_n_k) - f(x)| < \bruch{\epsilon}{2} [/mm] und [mm] |f(x_n_k) -f(y_n_k)| = |(f(x_n_k) -f(x)) + (f(x) - f(y_n_k)| \le |(f(x_n_k) -f(x))| + |(f(x) - f(y_n_k))| < \bruch{\epsilon}{2} + \bruch{\epsilon}{2} = \epsilon [/mm] für k [mm] \ge k_0 [/mm] im Widerspruch zu [mm] |f(x_n_k) - f(y_n_k)| \ge \epsilon [/mm] für alle k. Also folgt gleichmäßige Stetigkeit.
Sieht das bisher gut aus?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:34 Mi 02.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die schnelle Antwort.
> Wie soll ich zeigen, dass aus gleichmäßig stetig folgt
> stetig, dass sehe ich noch nicht.
Das folgt doch sofort aus der Definition von "gleichmäßig stetig"
> Aus Lipschitz-Steigkeit folgt glm stetig:
> Sei [mm]\epsilon[/mm] > 0 beliebig. Wähle [mm]\delta = \bruch{\epsilon}{L} [/mm].
> Da f Lipschitz-beschränkt gilt für x, y [mm]\in[/mm] I mit [mm]|x-y| < \delta [/mm]:
> [mm]|f (x) - f(y)| \subseteq L * |x-y| < L * \delta = L * \bruch{\epsilon}{L} = \epsilon[/mm]
>
> Somit ist f gleichmäßig stetig. Dürfte auch für beide
> Fälle sprich i) und ii) gelten.
Ja
> Gilt aus gleichmäßige Stetigkeit lipschitzstetig im Fall
> I = (a,b). Hier eine Frage. Ich hätte ja mit der
> Wurzelfunktion begründet, diese ist aber nur im Punkt 0
> eben nicht so definiert, dass sie lipschitz stetig ist,
> sonst schon. Wenn man also das nicht abgeschlossene
> Intervall betrachtet, kann ich dann immer noch mit
> [mm]\wurzel{x}[/mm] gegründen?
> Zu ii) ist für [mm][0, \infty)[/mm] ist [mm]\wurzel{x}[/mm] auf alle Fälle
> nicht lipschitz stetig.
Sei I ein nach unten beschränktes Intervall in [mm] \IR [/mm] mit 0= inf(I) und f:I [mm] \to \IR [/mm] definiert durch [mm] f(x)=\wurzel{x}.
[/mm]
Ist nun b [mm] \in [/mm] I und b>0, so ist f auf (0,b) glm. stetig: f ist auf [0,b] stetig, [0,b] ist kompakt, also ist f auf [0,b] glm. stetig.
f ist auf I nicht Lipschitzstetig: angenommen, es ex. ein L [mm] \ge [/mm] 0 mit
|f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] L|x-y| für alle x,y [mm] \in [/mm] I.
mit y [mm] \to [/mm] 0 folgt [mm] \wurzel{x} \le [/mm] Lx für alle x [mm] \in [/mm] I und somit auch
1 [mm] \leL* \wurzel{x} [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] I mit x [mm] \ne [/mm] 0.
x [mm] \to [/mm] 0 liefert den Widerspruch 1 [mm] \le [/mm] 0.
>
> bei ii) ist noch der besondere Fall zu betrachten, dass im
> abgeschlossenen Intervall aus stetigkeit glm. stetigkeit
> folgt.
> Beweis. Widerspruchsbeweis:
> Ist f nicht glm stetig, so gibt es ein [mm]\epsilon[/mm] > 0 und zu
> jedem n [mm]\in \IN[/mm] Punkte [mm]x_n, y_n \in[/mm] [a,b], so dass [mm]|x_n - y_n| < \bruch{1}{n}[/mm]
> und [mm]| f(x_n) - f(y_n)| \ge \epsilon[/mm] . Nach Satz
> Bolzano-Weierstaß besitzt die beschränkte Folge [mm](x_n)_{n \in \IN }[/mm]
> eine konvergente Teilfolge [mm](x_n_k)_{k \in \IN }[/mm] , deren
> Grenzwert g im Intervall [a,b] enthalten ist. Wegen
> [mm][mm]|x_n_k[/mm] - [mm]y_n_k|[/mm] < [mm]\bruch{1}{n_k}[/mm] > ist g ebenfalls Grenzwert von
> [mm](y_n_k)_{k \in \IN }.[/mm] Aus Stetigkeit von f folgt [mm]f(x_n_k) > \to[/mm] f(x) und [mm]f(y_n_k) \to[/mm] f(x). Daher gibt es ein
> [mm]k_0[/mm] , so dass [mm]|f(x_n_k) - f(x)| < \bruch{\epsilon
> {2}[/mm] und [mm]|f(x_n_k) -f(y_n_k)| = |(f(x_n_k) -f(x)) + (f(x) -
> f(y_n_k)| \le |(f(x_n_k) -f(x))| + |(f(x) - f(y_n_k))| < \bruch{\epsilon}{2} > + \bruch{\epsilon}{2} = \epsilon[/mm] für k [mm]\ge k_0[/mm] im
> Widerspruch zu [mm]|f(x_n_k) - f(y_n_k)| \ge \epsilon[/mm] für alle k.
> Also folgt gleichmäßige Stetigkeit.
Korrekt
FRED
Sieht das bisher gut aus?
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Gib aber ein Bsp. dafür an, dass nicht jede stetige Funktion gleichmäßig stetig ist.
Da ist aber wichtig, ob i) oder ii) vorliegt.
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 20:06 Di 01.07.2014 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo Leopold,
autsch, da hast du natürlich recht!
Ich habe die Fälle i) und ii) total ignoriert. Komplett überlesen.
Danke für den Hinweis.
Schönen Abend!
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