Immersion und Einbettung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 Sa 18.10.2008 | | Autor: | CON40 |
| Aufgabe | Sei [mm] f: \left( \bruch{pi}{2} , \bruch{5pi}{2}\right) \to \IR^2 [/mm] , f(t)= (cost,sin2t). Zeige:
a) f ist eine injektive Immersion
b) f ist keine Einbettung |
Hallo, bei der Aufgabe a habe ich zunächst gesagt ,dass f glatt ist, da cos und sin unendlich oft diffbar sind. Jetzt muss ich noch zeigen das f injektiv ist und dass der Rang der Jakobi Matrix 1 ist. Mit der Jakobi Matrix sollte klappen,bei dem Injektivitätsbeweis tue ich mich schwer,ich hab zwar schon eine Wertetabelle aufgeschrieben,aber ich komm einfach nicht weiter,wieso ist f injektiv??
Bei Aufgabe b ist lediglich zu zeigen, das die Umkehrfkt nicht stetig ist,richtig?!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Es wäre schön wenn mir jemand helfen kann.
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Hallo!
> Sei [mm]f: \left( \bruch{pi}{2} , \bruch{5pi}{2}\right) \to \IR^2[/mm]
> , f(t)= (cost,sin2t). Zeige:
> a) f ist eine injektive Immersion
> b) f ist keine Einbettung
> Hallo, bei der Aufgabe a habe ich zunächst gesagt ,dass f
> glatt ist, da cos und sin unendlich oft diffbar sind. Jetzt
> muss ich noch zeigen das f injektiv ist und dass der Rang
> der Jakobi Matrix 1 ist.
Alles völlig richtig.
> klappen,bei dem Injektivitätsbeweis tue ich mich schwer,ich
> hab zwar schon eine Wertetabelle aufgeschrieben,aber ich
> komm einfach nicht weiter,wieso ist f injektiv??
f injektiv bedeutet ja, für [mm] $x,y\in \left( \bruch{\pi}{2} , \bruch{5\pi}{2}\right)$ [/mm] folgt aus $f(x)=f(y)$, daß $x=y$ sein muß, oder andersherum, ist [mm] $x\not=y$, [/mm] so ist auch [mm] $f(x)\not=f(y)$. [/mm] Du mußt also ansetzen
[mm] $\cos [/mm] x = [mm] \cos [/mm] y$ und [mm] $\sin(2x)=\sin(2y)$. [/mm] Nennen wir [mm] $z:=\cos [/mm] x$, so folgt, daß [mm] $y\in\{2\pi n\pm\arccos(z)\mid n\in\IZ\}$ [/mm] sein muß, andererseits muß ja auch [mm] $y\in\left( \bruch{\pi}{2} , \bruch{5\pi}{2}\right)$ [/mm] sein. Letztlich gibt es also nicht viel Auswahl an Möglichkeiten für y, zusammen mit der zweiten Gleichung bekommst Du dann schon raus, daß $y=x$ sein muß.
> Bei Aufgabe b ist lediglich zu zeigen, das die Umkehrfkt
> nicht stetig ist,richtig?!
Korrekt.
Hoffe, ich konnte ein bißchen helfen,
Grüße,
Christian
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