Imaginärteil eines Ausdrucks < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen [mm] Im[\bruch{i}{1-i e^{i\pi x}}] [/mm] |
Hallo!
Kann bitte jemand so nett sein, und drübergehen, ob meine Lösung stimmt?
[mm] Im[\bruch{i}{1-i e^{i\pi x}}]=Im[\bruch{i}{1-i(cos (\pi x) + i sin (\pi x))}]= Im[\bruch{i}{1-i cos (\pi x) + sin (\pi x)}] [/mm] = [mm] Im[\bruch{1}{\bruch{1}{i}- cos (\pi x) + \bruch{1}{i} sin (\pi x)}] [/mm] = [mm] \bruch{1}{1 + sin (\pi x)}
[/mm]
Danke im Voraus!
Thomas
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Hallo,
> stimmt?
nein!
Die letzte Gleichung nicht!
Gruss
kushkush
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Hallo!
Danke! Aber wieso? Im Nenner wurde i ausgeklammert und mit Zähler gekürzt. Hier ausführlich:
[mm] Im[\bruch{i}{1-i e^{i\pi x}}]=Im[\bruch{i}{1-i(cos (\pi x) + i sin (\pi x))}]= Im[\bruch{i}{1-i cos (\pi x) + sin (\pi x)}] [/mm] = [mm] Im[\bruch{i}{\bruch{i}{i}- i cos (\pi x) + \bruch{i}{i} sin (\pi x)}] [/mm] = [mm] Im[\bruch{i}{i (\bruch{1}{i}- cos (\pi x) + \bruch{1}{i} sin (\pi x))}] [/mm] = [mm] Im[\bruch{1}{\bruch{1}{i}- cos (\pi x) + \bruch{1}{i} sin (\pi x)}] [/mm] = [mm] \bruch{1}{1 + sin (\pi x)} [/mm]
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Hallo Thomas,
erstmal wäre da noch die Info notwendig, ob x reell ist. Sonst wird das ganze nämlich richtig schwierig.
Ansonsten kann ich deine Vorgehensweise bei der letzten Gleichheit nicht nachvollziehen. Warum führst du nicht einfach die Division durch, dann ergeben sich Real- und Imaginärteil sozusagen von selbst (wenn x als reell angenommen werden darf).
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:32 Fr 27.05.2011 | | Autor: | Dark.Rider |
Hallo Diophant!
Danke für die Antwort!
"Zu Fuss" dividieren über den Umweg der Wandlung der eulerschen Form in die kartesische Form kam ich nun zu der korrekten Lösung.
Gruss
Thomas
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Hallo,
Den Fehler machst du beim Übergang von der zweitletzten zur letzten Gleichung!
Rechne mal indem du mit dem konjugiert komplexen des Nenners erweiterst! Dann bekommst du eine Summe im Zähler und kannst den Imaginärteil seperat von jedem Bruch ablesen!
Gruss
kushkush
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 08:25 Fr 27.05.2011 | | Autor: | Diophant |
Hallo kushkush,
weshalb stimmt deiner Ansicht nach die vorletzte Gleichheit nicht? IMO ist diese richtig, die letzte jedoch falsch.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 09:23 Fr 27.05.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Diophant,
> nur die letzte
ja
Gruss
kushkush
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:14 Fr 27.05.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich würde es anders machen als Du und das kannst Du auch generell für solche Aufgaben anwenden.
Erweitere den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner. Dann ist der Nenner real und man kann den Real- wie auch den Imaginärteil sofort ablesen. Benutzen kannst Du dabei die Regeln
[mm] \overline{z_1*z_2}=\overline{z_1}*\overline{z_2}
[/mm]
[mm] \overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}
[/mm]
[mm] \overline{\left(\bruch{1}{z}\right)}=\bruch{\overline{z}}{|z|^2}=\bruch{Re(z)-i*Im(z)}{|z|^2}
[/mm]
D.h. für Deine Aufgabe
[mm] Im\left[\bruch{i}{1-i*e^{i\pi x}}\right]=Im\left[\bruch{i}{1-i*e^{i\pi x}}*\bruch{1+i*e^{-i\pi x}}{1+i*e^{-i\pi x}}\right]=Im\left[\bruch{i*\left(1+i*e^{-i\pi x}\right)}{2+i*\left(e^{-i\pi x}-e^{i\pi x} \right)}\right]=\bruch{1}{2}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:35 Fr 27.05.2011 | | Autor: | Dark.Rider |
Hallo Ullim!
Vielen Dank! Der Weg mit der konjugiert komplexen Zahl leuchtet mir auf den ersten Blick ein, aber wie kommst Du vom vorletzten Rechenschritt zu 1/2? (dass es die korrekte Lösung ist, ist mir klar)
Gruss
Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Fr 27.05.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
Du sagts ja das folgendes gilt
[mm] Im\left[\bruch{1}{\bruch{1}{i}- cos (\pi x) + \bruch{1}{i} sin (\pi x)}\right]=\bruch{1}{1 + sin (\pi x)}
[/mm]
Du kannst aber nicht einfach nur die Zahlen des Nenners nehmen wo ein i steht und daraus schliessen das das der Imaginaärteil ist. Es gilt ja
[mm] Im\left(\bruch{1}{z}\right)=Im\left(\bruch{\overline{z}}{|z|^2}\right)=-\bruch{Im(z)}{|z|^2}
[/mm]
Nach Deiner Argumentation müsste aber gelten
[mm] Im\left(\bruch{1}{z}\right)=\bruch{1}{Im(z)}
[/mm]
Ich denke da liegt der Fehler.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 Fr 27.05.2011 | | Autor: | Dark.Rider |
Hallo Ullim!
Danke! Das ist jetzt klar.
Über den Umweg der Umwandlung in die kartesische Form erhalte ich nun die Lösung 1/2. Dein Ansatz ist aber eleganter, nur erschliesst sich mir der letzte Schritt noch nicht.
Gruss
Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Fr 27.05.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
[mm] Im\left[\bruch{i\cdot{}\left(1+i\cdot{}e^{-i\pi x}\right)}{2+i\cdot{}\left(e^{-i\pi x}-e^{i\pi x} \right)}\right]=Im\left[\bruch{i-\left(cos(\pi x)-i*sin(\pi x)\right)}{2+2*sin(\pi x)}\right]=\bruch{1+sin(\pi x)}{2(1+sin(\pi x))}=\bruch{1}{2}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:31 Fr 27.05.2011 | | Autor: | Dark.Rider |
Hallo!
Danke! So habe ich es auch gerechtet. Habe gedacht, es gibt einen Trick ohne Umweg über die kartesische/trigonometrische Darstellung.
Gruss
Thomas
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