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| Aufgabe | 1. Zeige, dass es genau eine ganze Funktion f gibt, die für alle [mm] n\in\IN [/mm] die Gleichung
[mm] $f\left(\log\left(1+\frac{1}{n}\right)\right)=\left(\frac{1}{n^{2}}-1\right)*\left(1+\frac{1}{n}\right)$
[/mm]
erfüllt.
2. Untersuche, ob es eine holomorphe Funktion [mm] h:\IC\textbackslash\{0\}\to\IC [/mm] geben kann mit [mm] e^{h(z)}=$\frac{1}{z}$ [/mm] für [mm] $z\in\IC\textbackslash\{0\}$. [/mm] |
Hallo!
Ich habe Fragen zu beiden Aufgaben.
1. Ich habe zunächst festgestellt: [mm] $f\left(\log\left(1+\frac{1}{n}\right)\right)=\left(\frac{1}{n^{2}}-1\right)*\left(1+\frac{1}{n}\right) [/mm] = [mm] \left(1+\frac{1}{n}\right)*\left(\frac{1}{n}+1-2\right)*\left(1+\frac{1}{n}\right)$.
[/mm]
Somit würde für die ganze Funktion $g(z) = [mm] e^{z}*(e^{z}-2)*e^{z}$ [/mm] die Gleichung
[mm] $f\left(\log\left(1+\frac{1}{n}\right)\right) [/mm] = [mm] g\left(\log\left(1+\frac{1}{n}\right)\right)$
[/mm]
für alle [mm] n\in\IN [/mm] erfüllen. Für jede weitere ganze Funktion h müsste für alle [mm] n\in\IN [/mm] gelten:
[mm] $g\left(\log\left(1+\frac{1}{n}\right)\right) [/mm] = [mm] h\left(\log\left(1+\frac{1}{n}\right)\right)$
[/mm]
Da die Menge [mm] $\Big\{log\left(1+\frac{1}{n}\right)\Big| n\in\IN\Big\}$ [/mm] den Häufungspunkt 0 hat, folgt nach dem Identitätssatz g = h.
Geht das so?
2. Hier komme ich nicht weiter. Ich würde ja so etwas wie $h(z) = log(1/z)$ erwarten, aber das ist ja nicht holomorph. Mit dem Identitätssatz müsste ich nur ein h(z) holomorph finden, so dass [mm] e^{h(z_{n})}=\frac{1}{z_{n}} [/mm] für eine konvergente Folge [mm] (z_{n}). [/mm] Geht das?
Ansonsten weiß ich nicht, wie konkret ich die Aussage widerlegen könnte, und bitte deswegen um einen Ansatz 
Danke für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:53 Di 15.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Stefan!
> 1. Zeige, dass es genau eine ganze Funktion f gibt, die
> für alle [mm]n\in\IN[/mm] die Gleichung
>
> [mm]f\left(\log\left(1+\frac{1}{n}\right)\right)=\left(\frac{1}{n^{2}}-1\right)*\left(1+\frac{1}{n}\right)[/mm]
> erfüllt.
> 2. Untersuche, ob es eine holomorphe Funktion
> [mm]h:\IC\textbackslash\{0\}\to\IC[/mm] geben kann mit [mm]e^{h(z)}=[/mm]
> [mm]\frac{1}{z}[/mm] für [mm]z\in\IC\textbackslash\{0\}[/mm].
> Hallo!
>
> Ich habe Fragen zu beiden Aufgaben.
>
> 1. Ich habe zunächst festgestellt:
> [mm]f\left(\log\left(1+\frac{1}{n}\right)\right)=\left(\frac{1}{n^{2}}-1\right)*\left(1+\frac{1}{n}\right) = \left(1+\frac{1}{n}\right)*\left(\frac{1}{n}+1-2\right)*\left(1+\frac{1}{n}\right)[/mm].
>
> Somit würde für die ganze Funktion [mm]g(z) = e^{z}*(e^{z}-2)*e^{z}[/mm]
> die Gleichung
>
> [mm]f\left(\log\left(1+\frac{1}{n}\right)\right) = g\left(\log\left(1+\frac{1}{n}\right)\right)[/mm]
>
> für alle [mm]n\in\IN[/mm] erfüllen. Für jede weitere ganze
> Funktion h müsste für alle [mm]n\in\IN[/mm] gelten:
>
> [mm]g\left(\log\left(1+\frac{1}{n}\right)\right) = h\left(\log\left(1+\frac{1}{n}\right)\right)[/mm]
>
> Da die Menge [mm]\Big\{log\left(1+\frac{1}{n}\right)\Big| n\in\IN\Big\}[/mm]
> den Häufungspunkt 0 hat, folgt nach dem Identitätssatz g
> = h.
Genau.
> Geht das so?
Ja.
> 2. Hier komme ich nicht weiter. Ich würde ja so etwas wie
> [mm]h(z) = log(1/z)[/mm] erwarten, aber das ist ja nicht holomorph.
> Mit dem Identitätssatz müsste ich nur ein h(z) holomorph
> finden, so dass [mm]e^{h(z_{n})}=\frac{1}{z_{n}}[/mm] für eine
> konvergente Folge [mm](z_{n}).[/mm] Geht das?
Nun, dann zeigst du doch, dass es eine soche Funktion gibt.
> Ansonsten weiß ich nicht, wie konkret ich die Aussage
> widerlegen könnte, und bitte deswegen um einen Ansatz
Schau mal die Funktion [mm] $\varphi [/mm] : [mm] \IR \to \IC$, [/mm] $t [mm] \mapsto h(e^{i t})$ [/mm] an. Es gilt [mm] $\exp(\varphi(t)) [/mm] = [mm] e^{-i t}$, [/mm] womit [mm] $\varphi(t) [/mm] = -i t + k(t) 2 [mm] \pi$ [/mm] mit $k(t) [mm] \in \IZ$ [/mm] ist.
Da [mm] $\varphi$ [/mm] stetig ist, muss auch $k : [mm] \IR \to \IZ$ [/mm] stetig sein, womit $k$ konstant sein muss. Also gilt [mm] $\varphi(t) [/mm] = -i t + 2 [mm] \pi [/mm] k$ mit einem $k [mm] \in \IZ$.
[/mm]
Jetzt rechne mal [mm] $\varphi(0)$ [/mm] und [mm] $\varphi(2 \pi)$ [/mm] aus.
LG Felix
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Hallo Felix,
danke für deine Antwort!
> > Ansonsten weiß ich nicht, wie konkret ich die Aussage
> > widerlegen könnte, und bitte deswegen um einen Ansatz
>
> Schau mal die Funktion [mm]\varphi : \IR \to \IC[/mm], [mm]t \mapsto h(e^{i t})[/mm]
> an. Es gilt [mm]\exp(\varphi(t)) = e^{-i t}[/mm], womit [mm]\varphi(t) = -i t + k(t) 2 \pi[/mm]
> mit [mm]k(t) \in \IZ[/mm] ist.
Wie bist du denn auf diesen Ansatz gekommen ?
> Da [mm]\varphi[/mm] stetig ist, muss auch [mm]k : \IR \to \IZ[/mm] stetig
> sein, womit [mm]k[/mm] konstant sein muss. Also gilt [mm]\varphi(t) = -i t + 2 \pi k[/mm]
> mit einem [mm]k \in \IZ[/mm].
>
> Jetzt rechne mal [mm]\varphi(0)[/mm] und [mm]\varphi(2 \pi)[/mm] aus.
Nun, es ist
$h(1) = [mm] h(e^{i*0}) [/mm] = [mm] \varphi(0) [/mm] = [mm] 2\pi*k$,
[/mm]
$h(1) = [mm] h(e^{i*2*\pi} [/mm] = [mm] \varphi(2*\pi) [/mm] = [mm] 2\pi*k [/mm] - [mm] 2*\pi*i$,
[/mm]
Das geht aber nicht(?).
Das ist also ein Widerspruch dazu, dass h eine Abbildung ist, und damit bin ich fertig?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:35 Mi 16.06.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> > Schau mal die Funktion [mm]\varphi : \IR \to \IC[/mm], [mm]t \mapsto h(e^{i t})[/mm]
> > an. Es gilt [mm]\exp(\varphi(t)) = e^{-i t}[/mm], womit [mm]\varphi(t) = -i t + k(t) 2 \pi[/mm]
> > mit [mm]k(t) \in \IZ[/mm] ist.
>
> Wie bist du denn auf diesen Ansatz gekommen ?
Nun, der Grund, warum der Logarithmus nicht auf ganz [mm] $\IC \setminus \{ 0 \}$ [/mm] definiert ist, ist ja dass man ein Problem mit der Stetigkeit hat. Da hier $h$ so etwas wie der Logarithmus sein soll (genauer: es ist [mm] $-\log$), [/mm] kann man also aehnlich argumentieren wie bei der Nicht-Existenz des stetigen komplexen Logarithmus auf [mm] $\IC \setminus \{ 0 \}$.
[/mm]
> > Da [mm]\varphi[/mm] stetig ist, muss auch [mm]k : \IR \to \IZ[/mm] stetig
> > sein, womit [mm]k[/mm] konstant sein muss. Also gilt [mm]\varphi(t) = -i t + 2 \pi k[/mm]
> > mit einem [mm]k \in \IZ[/mm].
> >
> > Jetzt rechne mal [mm]\varphi(0)[/mm] und [mm]\varphi(2 \pi)[/mm] aus.
>
> Nun, es ist
>
> [mm]h(1) = h(e^{i*0}) = \varphi(0) = 2\pi*k[/mm],
>
> [mm]h(1) = h(e^{i*2*\pi} = \varphi(2*\pi) = 2\pi*k - 2*\pi*i[/mm],
>
> Das geht aber nicht(?).
Exakt.
> Das ist also ein Widerspruch dazu, dass h eine Abbildung
> ist, und damit bin ich fertig?
Genau :)
LG Felix
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Vielen Dank, felix!
Du hast mir sehr geholfen
Grüße,
Stefan
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