Identitätssatz für Polynome < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm]n \in \IN[/mm]. Weiterhin seien [mm]a_0,...,a_n[/mm], sowie [mm]b_0,...,b_n[/mm] und [mm]x_0,...,x_n[/mm] reelle Zahlen mit [mm]x_0
[mm] p : \IR \to \IR, x \mapsto \summe_{k=0}^n a_k \produkt_{j=0}^{k-1}(x-x_j) [/mm]
[mm] q: \IR \to \IR, x \mapsto \summe_{k=0}^n b_k \produkt_{j=0,j\neq k}^{n} \frac{x-x_j}{x_k-x_j}[/mm]
(a) Berechnen Sie [mm]p(x_l)[/mm] und [mm]q(x_l)[/mm] für [mm] l \in \{0,...,n\}[/mm].
(b) Formulieren Sie eine Bedingung an die Koeffizienten [mm]a_0,...,a_n[/mm] und [mm]b_0,...,b_n[/mm], die äquivalent dazu ist, dass p=q (das heißt p(x)=q(x) für alle [mm]x \in \IR[/mm]. Beweisen Sie, dass die von Ihnen gefundene Bedingung wirklich äquivalent ist zu p = q.
Hinweis: Identitätssatz für Polynome |
Leider fehlt mir krankheitsbedingt das nötige Werkzeug.
Ich hab mir erstmal die Polynome für alle [mm] n \in \{0,1,2\} [/mm] aufgeschrieben um eine Vorstellung zu bekommen, wie die überhaupt aussehen.
(n [mm] \mapsto [/mm] 0) [mm] p(x)=a_0
[/mm]
(n [mm] \mapsto [/mm] 1) [mm] p(x)=a_0+a_1(x-x_0)
[/mm]
(n [mm] \mapsto [/mm] 2) [mm] p(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)(x-x_1)
[/mm]
(n [mm] \mapsto [/mm] 0) [mm] q(x)=b_0
[/mm]
(n [mm] \mapsto [/mm] 1) [mm] q(x)=b_0\frac{x-x_1}{x_0-x_1}+b_1\frac{x-x_0}{x_1-x_0}
[/mm]
(n [mm] \mapsto [/mm] 2) [mm] q(x)=b_0\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\frac{x-x_2}{x_0-x_2}+b_1\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\frac{x-x_2}{x_1-x_2}+b_2\frac{x-x_0}{x_2-x_0}\frac{x-x_1}{x_2-x_1}
[/mm]
Durch hingucken kann ich zumindest erahnen, wie [mm] p(x_l)[/mm] aussieht. Schließlich enthalten ab dem n-ten Summanden alle Summanden den Faktor [mm] (x-x_{n-1}). [/mm] Dann müssten zum Beispiel
[mm] p(x_0)=a_0
[/mm]
[mm] p(x_1)=a_0+a_1(x_1-x_0)
[/mm]
[mm] p(x_2)=a_0+a_1(x_2-x_0)+a_2(x_2-x_0)(x_2-x_1)
[/mm]
sein. In Summen/Produktschreibweise etwa so:
[mm] p(x_l)=\summe_{k=0}^l a_k \produkt_{j=0}^{k-1}(x_l-x_j) [/mm]
Stimmt das so und wenn ja wie komme ich dahin, ohne zu, naja, "raten"?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:40 Fr 08.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei [mm]n \in \IN[/mm]. Weiterhin seien [mm]a_0,...,a_n[/mm], sowie
> [mm]b_0,...,b_n[/mm] und [mm]x_0,...,x_n[/mm] reelle Zahlen mit
> [mm]x_0
>
> [mm]p : \IR \to \IR, x \mapsto \summe_{k=0}^n a_k \produkt_{j=0}^{k-1}(x-x_j)[/mm]
>
> [mm]q: \IR \to \IR, x \mapsto \summe_{k=0}^n b_k \produkt_{j=0,j\neq k}^{n} \frac{x-x_j}{x_k-x_j}[/mm]
>
> (a) Berechnen Sie [mm]p(x_l)[/mm] und [mm]q(x_l)[/mm] für [mm]l \in \{0,...,n\}[/mm].
>
> (b) Formulieren Sie eine Bedingung an die Koeffizienten
> [mm]a_0,...,a_n[/mm] und [mm]b_0,...,b_n[/mm], die äquivalent dazu ist, dass
> p=q (das heißt p(x)=q(x) für alle [mm]x \in \IR[/mm]. Beweisen
> Sie, dass die von Ihnen gefundene Bedingung wirklich
> äquivalent ist zu p = q.
>
> Hinweis: Identitätssatz für Polynome
> Leider fehlt mir krankheitsbedingt das nötige Werkzeug.
>
> Ich hab mir erstmal die Polynome für alle [mm]n \in \{0,1,2\}[/mm]
> aufgeschrieben um eine Vorstellung zu bekommen, wie die
> überhaupt aussehen.
>
> (n [mm]\mapsto[/mm] 0) [mm]p(x)=a_0[/mm]
>
> (n [mm]\mapsto[/mm] 1) [mm]p(x)=a_0+a_1(x-x_0)[/mm]
>
> (n [mm]\mapsto[/mm] 2) [mm]p(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)(x-x_1)[/mm]
>
>
> (n [mm]\mapsto[/mm] 0) [mm]q(x)=b_0[/mm]
>
> (n [mm]\mapsto[/mm] 1)
> [mm]q(x)=b_0\frac{x-x_1}{x_0-x_1}+b_1\frac{x-x_0}{x_1-x_0}[/mm]
>
> (n [mm]\mapsto[/mm] 2)
> [mm]q(x)=b_0\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\frac{x-x_2}{x_0-x_2}+b_1\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\frac{x-x_2}{x_1-x_2}+b_2\frac{x-x_0}{x_2-x_0}\frac{x-x_1}{x_2-x_1}[/mm]
>
> Durch hingucken kann ich zumindest erahnen, wie [mm]p(x_l)[/mm]
> aussieht. Schließlich enthalten ab dem n-ten Summanden
> alle Summanden den Faktor [mm](x-x_{n-1}).[/mm] Dann müssten zum
> Beispiel
>
> [mm]p(x_0)=a_0[/mm]
> [mm]p(x_1)=a_0+a_1(x_1-x_0)[/mm]
> [mm]p(x_2)=a_0+a_1(x_2-x_0)+a_2(x_2-x_0)(x_2-x_1)[/mm]
>
> sein. In Summen/Produktschreibweise etwa so:
>
> [mm]p(x_l)=\summe_{k=0}^l a_k \produkt_{j=0}^{k-1}(x_l-x_j)[/mm]
>
> Stimmt das so und wenn ja wie komme ich dahin, ohne zu,
> naja, "raten"?
ja, das ist richtig. Die Überlegung ist eigentlich einfach (und dennoch ist es
sehr gut, wie Du es angegangen bist):
[mm] $p(x)=\summe_{k=0}^n a_k \produkt_{j=0}^{k-1}(x-x_j)$
[/mm]
liefert sofort natürlich
[mm] $p(x_\ell)=\summe_{k=0}^\red{n} a_k \produkt_{j=0}^{k-1}(x_\ell-x_j)\,.$
[/mm]
Jetzt überlege Dir mal, was mit
[mm] $\produkt_{j=0}^{k-1}(x_\ell-x_j)$
[/mm]
passiert, wenn dort auch der Index [mm] $j=\ell$ [/mm] zum Einsatz kommt. (Das passiert
für alle $k [mm] \ge \ell+1\,.$)
[/mm]
Das kannst Du dann hier (penibel aufgeschrieben):
[mm] $p(x_\ell)=\summe_{k=0}^\red{n} a_k \produkt_{j=0}^{k-1}(x_\ell-x_j)=\left(\summe_{k=0}^{\ell} a_k \produkt_{j=0}^{k-1}(x_\ell-x_j)\right)+\red{\sum_{k=\ell+1}^{n}\produkt_{j=0}^{k-1}(x_\ell-x_j)}$
[/mm]
verwenden:
Was hat da folglich auch der rote Summand für einen Wert?
Gruß,
Marcel
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