Identität von Funkltionen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 Mi 01.06.2005 | | Autor: | miho |
Hi!
Ich habe in einer Aufgabe die Äquivalenz folgender Aussagen zu zeigen:
a) Es gilt die Identität von Funktionen [mm] $x\frac{\partial}{\partial y}f=y\frac{\partial}{\partial x}f$
[/mm]
b) Es existiert eine Funktion [mm] $g:\IR_{>0} \mapsto \IR$ [/mm] mit der Eigenschaft
[mm] $f(x,y)=g(\sqrt{x^2+y^2})$ [/mm] für alle [mm] $x,y\in \IR^2 [/mm] - [mm] \{0\}$
[/mm]
Ich habe mir überlegt, dass Funktionen der Form [mm] $\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$ [/mm] Bedingung a) erfüllen. Mir ist anschaulich auch klar, dass in [mm] $g(\sqrt{x^2+y^2})$ [/mm] $x$ und $y$ auch nur in dieser Form vorlkommen können. Aber wie folgere ich korrekt aus a Aussage b, bzw. aus b Aussage a?
Bin für jede Hilfe dankbar!
Gruß,
miho
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Hallo miho,
> Ich habe mir überlegt, dass Funktionen der Form
> [mm]\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}[/mm] Bedingung a) erfüllen. Mir ist
> anschaulich auch klar, dass in [mm]g(\sqrt{x^2+y^2})[/mm] [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm]
> auch nur in dieser Form vorlkommen können. Aber wie folgere
> ich korrekt aus a Aussage b, bzw. aus b Aussage a?
das führt dann auf eine partielle DGL.
Die Lösungen der partiellen DGL [mm]P\;\frac{{\delta f}}{{\delta x}}\; + \;Q\;\frac{{\delta f}}{{\delta y}}\; = \;R[/mm], wobei P,Q,R gegebene Terme von x,y,z sind, gestaltet sich wie folgt:
Zunächst ist
[mm]dx\;:\;dy\;:\;dz\; = \;P\;:\;Q\;:\;R[/mm]
oder in anderer Schreibweise
[mm]\frac{{dx}}{{dy}}\; = \;\frac{P}{Q};\;\frac{{dx}}{{dz}}\; = \;\frac{P}{R};\;\frac{{dy}}{{dz}}\; = \;\frac{Q}{R}[/mm]
Je zwei dieser gewöhnlichen DGL's ergeben die Lösungen
[mm]\begin{array}{l}
u\left( {x,\;y,\;z} \right)\; = \;C_1 \\
v\left( {x,\;y,\;z} \right)\; = \;C_2 \\
\end{array}[/mm]
aus denen die allgemeine Lösung der partiellen DGL folgt:
[mm]w\left( {u,\;v} \right)\; = \;0[/mm]
Im Falle [mm]R\; \equiv \;0[/mm], wird dies wohl auf die Lösung der DGL [mm]\frac{{dx}}{{dy}}\; = \;\frac{P}{Q}[/mm] hinauslaufen. Die Lösung der DGL ist [mm]u\left( {x,\;y} \right)\; = \;C_{1}[/mm].
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:02 Mi 01.06.2005 | | Autor: | SEcki |
> das führt dann auf eine partielle DGL.
Woha - Kanonen auf Spatzen? lle Funktionen, die die Bedingung lösen anzugeben, wird wohl auch sehr schwierig.
Eine einfachere Überlegung: Aussage b)sagt doch nichts anderes als: f ist auf Kreisen um den Ursprung konstant. Um also von b) nach a) zu kommen leite man mal [m](x,y)\mapsto g(||(x,y)||)[/m] einfach mal partiell nach x und y ab und schaut ob a) erfüllt ist.
Von a) nach b) muss man zeigen, daß auf Kreisen f konstant ist, leite also mal [m]t \mapsto f(r \sin(t),r \cos(t))[/m] ab - und man überzeuge sich, das die Ableitung Null ist, also die Funktion konstant.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:44 Mi 01.06.2005 | | Autor: | miho |
Hi !
Ich habe eure Antworten noch nicht ganz verstanden, bin euch aber sehr dankbar dafür! Ich glaube aber, dass ich es hinkriegen werde.
Gruß,
miho
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