Identität nachweisen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seo k [mm] \in \IN [/mm] 0. Weisem sie für |x| < 1 die Identität [mm] \bruch{1}{(1-x)^{k+1}} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{n+k \\ n} x^{n} [/mm] nach. |
Hallo!
Ich habe bei dieser Aufgabe erstmal die rechte Seite umgewandet. Nun habe ich:
[mm] \bruch{1}{(1-x)^{k+1}} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(n+k)! x^{n}}{n! (-k)!} [/mm] .
Und wie gehe ich nun weiter vor?
Also, wie weise ich die Identität nun nach?
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:26 So 11.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Raingirl!
> Seo k [mm]\in \IN[/mm] 0. Weisem sie für |x| < 1 die Identität
> [mm]\bruch{1}{(1-x)^{k+1}}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \vektor{n+k \\ n} x^{n}[/mm]
> nach.
> Hallo!
>
> Ich habe bei dieser Aufgabe erstmal die rechte Seite
> umgewandet. Nun habe ich:
> [mm]\bruch{1}{(1-x)^{k+1}}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(n+k)! x^{n}}{n! (-k)!}[/mm]
> .
> Und wie gehe ich nun weiter vor?
> Also, wie weise ich die Identität nun nach?
Mach es am besten per Induktion. Fuer $k = 0$ ist das gerade die geometrische Reihe. Fuer den Induktionsschritt leite beide Seiten ab, um von $k$ nach $k+1$ zu kommen.
LG Felix
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Hallo!
Vielen Dank für den Tipp mit der geom. Reihe und der Induktion.
Ich habe die linke Seite nun umgewandelt und die Summe so umgeschrieben, dass sie bei n=0 beginnt und bin dazu gekommen:
( [mm] \summe_{n=0}^{\infty} x^{n} )^{k+1} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(n+k)! x^{n}}{n! (-k)!}. [/mm] Stimmt das so?
Wenn ich nun beim Induktionsanfang n=0 einsetze...was setze ich denn da überall für k ein?
Und wie leite ich diese Summen denn dann für den Induktionsschritt ab? Also zwecks der Fakultäten und so.?
Liebe Grüße, Raingirl87
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 So 11.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Raingirl!
> Vielen Dank für den Tipp mit der geom. Reihe und der
> Induktion.
> Ich habe die linke Seite nun umgewandelt und die Summe so
> umgeschrieben, dass sie bei n=0 beginnt und bin dazu
> gekommen:
> ( [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^{n} )^{k+1}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(n+k)! x^{n}}{n! (-k)!}.[/mm]
Soll das erste die $k+1$-te Ableitung sein? Oder was machst du da?
Und es soll sicher $(n-k)!$ sein und nicht $(-k)!$, oder?
> Stimmt das so?
> Wenn ich nun beim Induktionsanfang n=0 einsetze...was
> setze ich denn da überall für k ein?
Du machst Induktion ueber $k$. Die Variable $n$ ist eine Indexvariable, darueber darfst du hier keine Induktion machen.
Also fuer $k = 0$ hast du da grad die geometrische Reihe stehen.
Angenommen, die Behauptung gilt schon fuer ein $k$. Es gilt also [mm] $\frac{1}{(1 - x)^{k+1}} [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^\infty \binom{n+k}{n} x^n$. [/mm] Das leitest du nun auf beiden Seiten einmal ab. Und das formst du dann so um, das die gesuchte Gleichung fuer $k+1$ dort steht, also [mm] $\frac{1}{(1 - x)^{k+1+1}} [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^\infty \binom{n+k+1}{n} x^n$.
[/mm]
LG Felix
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