Identität beweisen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:29 So 20.02.2011 | | Autor: | Spalding |
| Aufgabe | Zeige sie für alle n [mm] \in \IN [/mm] die folgende Identität:
[mm] \summe_{v=1}^{n} (-1)^v*v^2 [/mm] = [mm] (-1)^n*\bruch{n}{2}*(n+1) [/mm] |
Hallo,
als ich mir die Aufgabe angeschaut habe, viel mir direkt das Ende mit dem [mm] \bruch{n}{2}*(n+1) [/mm] auf. Dies ist die summe der ersten n ganzen zahlen
(oder liege ich hier schon falsch)?
Allerdings habe ich keine Ahnung wie ich die Aufgabe beginnen soll.
Die Teilfolge [mm] (-1)^v [/mm] ist divergent und [mm] v^2 [/mm] wäre eig die summe der ersten n quadratzahlen (also [mm] \summe_{v=1}^{n}v^2 =\bruch{(n(n+1)(n+2)}{6} [/mm]
kann mir jemande helfen ?
besten dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:35 So 20.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Zeige sie für alle n [mm]\in \IN[/mm] die folgende Identität:
> [mm]\summe_{v=1}^{n} (-1)^v*v^2[/mm] = [mm](-1)^n*\bruch{n}{2}*(n+1)[/mm]
> Hallo,
>
> als ich mir die Aufgabe angeschaut habe, viel mir direkt
> das Ende mit dem [mm]\bruch{n}{2}*(n+1)[/mm] auf. Dies ist die summe
> der ersten n ganzen zahlen
Stimmt
> (oder liege ich hier schon falsch)?
>
> Allerdings habe ich keine Ahnung wie ich die Aufgabe
> beginnen soll.
> Die Teilfolge [mm](-1)^v[/mm] ist divergent und [mm]v^2[/mm] wäre eig die
> summe der ersten n quadratzahlen (also [mm]\summe_{v=1}^{n}v^2 =\bruch{(n(n+1)(n+2)}{6}[/mm]
> kann mir jemande helfen ?
Induktion !!!!!
FRED
>
> besten dank.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 So 20.02.2011 | | Autor: | Spalding |
erstemal vielen danke für die schnelle Antwort !
induktionsanfang ist klar.
dann muss ich ja von n nach n+1 zeigen
also
[mm] \summe_{v=1}^{n+1}(-1)^v*v^2 [/mm]
wenn man den größten exponenten ausrechnet:
[mm] (-1)^{n+1}*(n+1)^2 +\summe_{v=1}^{n}(-1)^v*v^2 [/mm]
die summe ist ja laut i.v. bekannt:
also [mm] (-1)^{n+1}*(n+1)^2 [/mm] + $ [mm] (-1)^n\cdot{}\bruch{n}{2}\cdot{}(n+1) [/mm] $
aber da steh ich irgendwie auf dem schlauch...
oder ist es falsch?
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Hallo Spalding,
> erstemal vielen danke für die schnelle Antwort !
> induktionsanfang ist klar.
> dann muss ich ja von n nach n+1 zeigen
>
> also
> [mm]\summe_{v=1}^{n+1}(-1)^v*v^2[/mm]
> wenn man den größten exponenten ausrechnet:
> [mm](-1)^{n+1}*(n+1)^2 +\summe_{v=1}^{n}(-1)^v*v^2[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> die summe ist ja laut i.v. bekannt:
> also [mm](-1)^{n+1}*(n+1)^2[/mm] + [mm](-1)^n\cdot{}\bruch{n}{2}\cdot{}(n+1)[/mm]
>
> aber da steh ich irgendwie auf dem schlauch...
> oder ist es falsch?
Nein, ist richtig, klammer nun [mm](-1)^n\cdot{}\frac{n+1}{2}[/mm] aus. Bedenke: [mm](n+1)^2=\frac{2(n+1)^2}{2}[/mm]
Der Rest ist einfaches Zusammenfassen ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 So 20.02.2011 | | Autor: | Spalding |
" klammer nun $ [mm] (-1)^n\cdot{}\frac{n+1}{2} [/mm] $ aus. "
kann es sein das ich [mm] (-1)^{n+1}\cdot{}\frac{n+1}{2} [/mm] ausklammern muss.
dann komm ich auch auf das passende ergebnis.
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Hi,
> " klammer nun [mm](-1)^n\cdot{}\frac{n+1}{2}[/mm] aus. "
>
> kann es sein das ich [mm](-1)^{n+1}\cdot{}\frac{n+1}{2}[/mm]
> ausklammern muss.
> dann komm ich auch auf das passende ergebnis.
Ja, das ist eine gute Idee.
Gruß
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Hallo.
> " klammer nun [mm](-1)^n\cdot{}\frac{n+1}{2}[/mm] aus. "
>
> kann es sein das ich [mm](-1)^{n+1}\cdot{}\frac{n+1}{2}[/mm]
> ausklammern muss.
Das ist Wurscht, in meiner Version bekommst du nachher im rechten Faktor ein negat. VZ, das du mit der vorn stehenden [mm] $(-1)^n$ [/mm] zu [mm] $(-1)^{n+1}$ [/mm] zusammenschreiben kannst.
Wie du's letztlich machst, ist egal, Hauptsache du kommst am Ende auf die Lösung 
> dann komm ich auch auf das passende ergebnis.
Bei "meinem" Weg nicht?
Das würde mich wundern ...
Gruß
schachuzipus
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