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| Aufgabe | Seien f: [mm] \IN [/mm] x [mm] \IN \to \IC, [/mm] g: [mm] \IZ \to \IC [/mm] Abbildungen.
Dann gilt:
[mm] \summe_{r,s=1}^{n}f(r,s) [/mm] = [mm] \summe_{h=0}^{n-1}\summe_{t=1}^{n-|h|}f(t [/mm] + |h|,t) + [mm] \summe_{h=-(n-1)}^{-1}\summe_{t=1}^{n-|h|}f(t,t [/mm] + |h|) |
Hallo,
ich habe versucht das per Induktion zu beweisen, aber das funktioniert irgendwie nicht.
Gibt es auch eine andere, einfachere Möglichkeit?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 So 07.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien f: [mm]\IN[/mm] x [mm]\IN \to \IC,[/mm] g: [mm]\IZ \to \IC[/mm] Abbildungen.
g brauchen wir doch nirgends?
> Dann gilt:
>
> [mm]\summe_{r,s=1}^{n}f(r,s)[/mm] =
> [mm]\summe_{h=0}^{n-1}\summe_{t=1}^{n-|h|}f(t[/mm] + |h|,t) +
> [mm]\summe_{h=-(n-1)}^{-1}\summe_{t=1}^{n-|h|}f(t,t[/mm] + |h|)
> Hallo,
>
> ich habe versucht das per Induktion zu beweisen, aber das
> funktioniert irgendwie nicht.
> Gibt es auch eine andere, einfachere Möglichkeit?
Ich würde mir einfach folgendes angucken:
[mm] $qG:=\{(r,s) \in \IN^2 \mid r,s \in \IN\}$
[/mm]
ist das Gitter eines Quadrates (Du kannst auch sagen: ein quadratisches
Gitter - deswegen [mm] $qG\,$).
[/mm]
Die Frage ist, ob gilt:
[mm] $qG=\stackrel{d}{\bigcup_{h=0}^{n-1}}\{(t+|h|,\,t)\mid t=1,...,n-|h|\}$ $\stackrel{d}{\cup}$ $\stackrel{d}{\bigcup_{h=-(n-1)}^{-1}}\{(t,\,t+|h|)\mid t=1,...,n-|h|\}\,,$
[/mm]
wobei die Mengen rechterhand alle disjunkt sein müssen. (Daher dieses
hochgestellte d beim Vereinigungszeichen im Sinne von *disjunkt vereinigt*)
- die Disjunktheit, damit wir nicht Funktionswerte mehrmals addieren, und
die Gleichheit der Vereinigung, damit wir auch alle Stellen durchlaufen, die
in [mm] $qG\,$ [/mm] drinstehen.
Anders gesagt: "qG = Disjunkte Vereinigung rechterhand", damit jede Stelle
des Gitters [mm] $qG\,$ [/mm] genau einmal durchlaufen wird!
Schauen wir uns das mal für [mm] $n=3\,$ [/mm] an, dann ist
[mm] $qG=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)\}\,.$
[/mm]
Weiter ist
[mm] $\bigcup_{h=0}^{n-1}\{(t+|h|,\,t)\mid t=1,...,n-|h|\}=\bigcup_{h=0}^{2}\{(t+h,\,t)\mid t=1,...,3-|h|\}=\{(1,1),(2,2),(3,3)\} \cup \{(2,1),(3,2)\} \cup \{(3,1)\}$
[/mm]
und
[mm] $\bigcup_{h=-(n-1)}^{-1}\{(t,\,t+|h|)\mid t=1,...,n-|h|\}=\bigcup_{h=-2}^{-1}\{(t,\,t+|h|)\mid t=1,...,n-|h|\}=\{(1,3)\} \cup \{(1,2),(2,3)\}\,.$
[/mm]
Probier' das mal analog für [mm] $n=4\,$ [/mm] und schau, ob Du ein Schema erkennst.
Im Endeffekt kann man sagen: Es reicht, zu zeigen, dass durch
[mm] $\bigcup_{h=0}^{n-1}\{(t+|h|,\,t)\mid t=1,...,n-|h|\}$ $\cup$ $\bigcup_{h=-(n-1)}^{-1}\{(t,\,t+|h|)\mid t=1,...,n-|h|\}$
[/mm]
ein Schema gegeben ist, das das Gitters $qG=qG(n)$ (welches die Größe [mm] $n^2$ [/mm]
hat) so durchläuft, dass jeder Punkt des Gitters genau einmal getroffen wird.
Oben hast Du schon gesehen bzw. das oben gesehene läßt sich verallgemeinern:
Bei
[mm] $\bigcup_{h=0}^{n-1}\{(t+|h|,\,t)\mid t=1,...,n-|h|\}$
[/mm]
entsteht für [mm] $h=0\,$ [/mm] genau die Diagonale des quadratischen Gitters [mm] $qG\,$:
[/mm]
[mm] $\{(t+|0|,\,t)\mid t=1,...,n-|0|\}=\{(m,m) \mid m \in \{1,...,n\}\}\,.$ [/mm]
Gruß,
Marcel
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