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| Aufgabe | | Sei $f(z) = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}\bruch{z^{2k}}{2k+1}$. [/mm] Bestimme den Konvergenzradius dieser Reihe und zeige, dass die Gleichung [mm] $f\left(\bruch{2z}{1+z^{2}}\right) [/mm] = [mm] (1+z^{2})*f(z)$ [/mm] für alle [mm] z\in\IC [/mm] mit |z| < 1 erfüllt ist. |
Hallo!
Bei obiger Aufgabe bräuchte ich einen Ansatz, vielleicht einen Satz der mir helfen kann. Der Konvergenzradius ist 1, und mir ist aufgefallen dass
[mm] $f\left(\bruch{2z}{1+z^{2}}\right) [/mm] = [mm] f\left(\ln(1+z^{2})'\right) [/mm] = [mm] f\left(\bruch{(z+1)^{2}}{1+z^{2}}-1\right) [/mm] = [mm] (1+z^{2})*f(z)$
[/mm]
Aber das bringt mir glaub ich nicht so viel. Am naheliegendsten wäre es natürlich, das in die Reihe einzusetzen, aber damit habe ich nicht soviel Erfolg...:
[mm] $(1+z^{2})*f(z) [/mm] = [mm] (1+z^{2})*\sum_{k=0}^{\infty}\bruch{z^{2k}}{2k+1} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}\bruch{z^{2k} + z^{2*(k+1)}}{2k+1} [/mm] = 1 + [mm] \sum_{k=1}^{\infty}\left(\bruch{1}{2k+1} + \bruch{1}{2k-1}\right)*z^{2k}$
[/mm]
Ich weiß aber nicht inwiefern ich das jetzt zu
[mm] $f\left(\bruch{2z}{1+z^{2}}\right)= [/mm] 1 + [mm] \sum_{k=1}^{\infty}\bruch{\left(\bruch{2z}{1+z^{2}}\right)^{2k}}{2k+1}$
[/mm]
verarbeiten kann. Wie gesagt, ich bitte um einen Ansatz!
Vielen Dank für Eure Hilfe,
Stefan.
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Hallo, bin weiterhin an einer Antwort interessiert.
Grüße, Stefan.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Mo 08.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Es ist für $|z|<1$:
$ zf(z) = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{z^{2k+1}}{2k+1}$
[/mm]
Somit (geometrische Reihe , Partialbruchzerlegung)
$(zf(z))' = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}z^{2k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-z^2}= 1/2(\bruch{1}{1-z}-\bruch{1}{1+z})$
[/mm]
Daher
(*) $wf(w) = 1/2(Log(1-w)-Log(1+w))$ für |w|<1
Setze nun $ w= [mm] \bruch{2z}{1+z^{2}}$. [/mm] Dann folgt aus (*):
[mm] $\bruch{2z}{1+z^{2}}f(\bruch{2z}{1+z^{2}})$ [/mm] = [mm] $1/2(Log(1-\bruch{2z}{1+z^{2}})-Log(1+\bruch{2z}{1+z^{2}}))$
[/mm]
= ....... nachrechnen $..........=2zf(z)$
$Log = $ hauptzweig des Log.
"nachrechnen": bin. Formel, Rechenregeln für Log !!!
FRED
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Hallo Fred,
Deine Idee find' ich sehr gut, vielen Dank dafür!
Also insbesondere die Möglichkeit, doch die Reihe als "richtige" Funktion herauszubekommen!
Für den letzten Schritt erhalte ich
[mm] $\bruch{2z}{1+z^{2}}*f\left(\bruch{2z}{1+z^{2}}\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*\left(\log\left(1-\bruch{2z}{1+z^{2}}\right) -\log\left(1+\bruch{2z}{1+z^{2}}\right) \right)$
[/mm]
$ = [mm] \bruch{1}{2}*\left(\log\left(\bruch{(1-z)^{2}}{1+z^{2}}\right) -\log\left(\bruch{(1+z)^{2}}{1+z^{2}}\right) \right)$
[/mm]
$ = [mm] \bruch{1}{2}*\Big(2*\log\left(1-z\right) [/mm] - [mm] \log(1+z^{2}) -2*\log\left(1+z\right) [/mm] + [mm] \log\left(1+z^{2}\right)\Big)$
[/mm]
$ = [mm] \bruch{1}{2}*\left(\log\left(1-z\right) - \log\left(1+z\right) \right)$
[/mm]
So okay  ?
Viele Grüße, Stefan.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Mo 08.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
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> Deine Idee find' ich sehr gut, vielen Dank dafür!
> Also insbesondere die Möglichkeit, doch die Reihe als
> "richtige" Funktion herauszubekommen!
> Für den letzten Schritt erhalte ich
>
> [mm]\bruch{2z}{1+z^{2}}*f\left(\bruch{2z}{1+z^{2}}\right) = \bruch{1}{2}*\left(\log\left(1-\bruch{2z}{1+z^{2}}\right) -\log\left(1+\bruch{2z}{1+z^{2}}\right) \right)[/mm]
>
> [mm]= \bruch{1}{2}*\left(\log\left(\bruch{(1-z)^{2}}{1+z^{2}}\right) -\log\left(\bruch{(1+z)^{2}}{1+z^{2}}\right) \right)[/mm]
>
> [mm]= \bruch{1}{2}*\left(2*\log\left(1-z\right) - \log(1+z^{2}) -2*\log\left(1+z\right) + \log(1+z^{2}\right) \right)[/mm]
>
> [mm]= \bruch{1}{2}*\left(\log\left(1-z\right) - \log\left(1+z\right) \right)[/mm]
>
Der Faktor [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist zuviel !
FRED
> So okay ?
> Viele Grüße, Stefan.
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Hallo fred,
danke für deine Korrektur
War ein "Tippfehler".
Grüße, Stefan.
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