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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:44 Do 18.10.2007 | | Autor: | Marty |
| Aufgabe | Ein reales Gas mit Druck P, Volumen V und Temperatur T genügt der van der Waals-Gleichung
F(P,V,T):=(P+a/V²)(V-b)-RT=0
mit reellen Konstanten a,b,R>0. Zeigen Sie,dass für alle (P,V,T) [mm] \in [/mm] D mit
D:={ [mm] \fed\mixon {(P,V,T)\in \IR^3 V>b, dF/dV (P,V,T)\not=0} [/mm] }
die Identität dV/dT * dT/dP * dP/dV = -1
gilt. |
Hallo,
ich sitze schon eine ganze Weile vor dieser Aufgabe aber komme einfach nicht weiter. Angefangen habe ich damit, die partiellen Ableitungen auszurechnen:
F(P,V,T)= [mm] PV+\bruch{a}{V}-Pb-\bruch{ab}{V²}-RT=0
[/mm]
dF/dT = -R
dF/dP= V-b
[mm] dF/dV=P-\bruch{a}{V²}+\bruch{2a}{V³}
[/mm]
Dann ist mir erst aufgefallen, dass da z.B. nicht dF/dT steht, sondern dV/dT. Muss ich dass jetzt irgendwie anders ausrechnen?
Ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen...
Lg Marty
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo!
Ja, natürlich mußt du das anders machen. Du hast da die Formel, und die soll gleich 0 sein. Also, forme diese Gleichung nach V um, nach P und nach T. Drei Ausdrücke, die du dann wie angegeben ableiten und verrechnen kannst.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:22 Fr 19.10.2007 | | Autor: | Marty |
Hallo!
vielen Dank für deine schnelle Antwort!
Jetzt nachdem ich das gemacht habe, wie du gesagt hast sieht mein Lösungsansatz schon besser aus:
nach T auflösen:
T= [mm] \bruch{PV}{R}+\bruch{a}{RV}-\bruch{Pb}{R}-\bruch{ab}{V^2R}
[/mm]
dann nach P ableiten: [mm] \bruch{dT}{dP}= \bruch{V}{R}-\bruch{b}{R}
[/mm]
jetzt die Gleichung nach P auflösen:
P= [mm] -\bruch{a}{V(V-b)}+\bruch{ab}{V^2(V-b)}+\bruch{RT}{(V-b)}
[/mm]
und diesmal nach V ableiten:
[mm] \bruch{dP}{dV}= \bruch{a(2v-b)}{(V^2-bV)^2}+\bruch{ab(b-3V^2)}{(V^3-bV)^2}-\bruch{RT}{(b-V)^2}
[/mm]
Ich hoffe, bis hierher stimmt alles.
Jetzt möchte ich die Gleichung nach V auflösen, aber ich komme leider nur so weit: [mm] PV+\bruch{a}{V}-\bruch{ab}{V^2}= [/mm] Pb+RT
Irgendwie stehe ich gerade voll auf der Leitung und komme nicht weiter....
Ausklammern bringt ja hier nicht viel. Ich habe dann versucht auf der linken Seite alles auf einen Nenner zu bringen:
[mm] \bruch{PV^3+aV+ab}{V^2}=Pb+RT
[/mm]
Damit komme ich auch nicht weiter...
Hat jemand eine Idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:14 Fr 19.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marty!
> nach T auflösen: T= [mm]\bruch{PV}{R}+\bruch{a}{RV}-\bruch{Pb}{R}-\bruch{ab}{V^2R}[/mm]
>
> dann nach P ableiten: [mm]\bruch{dT}{dP}= \bruch{V}{R}-\bruch{b}{R}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> jetzt die Gleichung nach P auflösen:
> P= [mm]-\bruch{a}{V(V-b)}+\bruch{ab}{V^2(V-b)}+\bruch{RT}{(V-b)}[/mm]
Hier habe ich einen etwas einfacheren Term erhalten mit $P \ = \ [mm] \bruch{R*T}{V-b}-\bruch{a}{V^2}$ [/mm] .
> und diesmal nach V ableiten:
>
> [mm]\bruch{dP}{dV}= \bruch{a(2v-b)}{(V^2-bV)^2}+\bruch{ab(b-3V^2)}{(V^3-bV)^2}-\bruch{RT}{(b-V)^2}[/mm]
Das habe ich nun nicht kontrolliert. Jedenfalls erhalte ich mit meinem Ergebnis oben:
[mm] $$\bruch{dP}{dV} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{R*T}{(V-b)^2}+\bruch{3a}{V^3}$$
[/mm]
> Jetzt möchte ich die Gleichung nach V auflösen, aber ich
> komme leider nur so weit: [mm]PV+\bruch{a}{V}-\bruch{ab}{V^2}=[/mm] Pb+RT
Hier mal die ersten Schritte:
[mm] $$\left(P+\bruch{a}{V^2}\right)*(V-b)-R*T [/mm] \ = \ 0$$
[mm] $$\bruch{P*V^2+a}{V^2}*(V-b) [/mm] \ = \ R*T$$
[mm] $$\left(P*V^2+a\right)*(V-b) [/mm] \ = \ [mm] R*T*V^2$$
[/mm]
Ich befürchte, dass Du hier am Ende evtl. auf die Cardanischen Formeln zurückgreifen musst ...
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Fr 19.10.2007 | | Autor: | chrisno |
Hallo Marty,
die Identität dV/dT * dT/dP * dP/dV = -1
gilt ja auch für andere Fälle, sie lässt sich also acuh allgemeiner beweisen.
"Jetzt möchte ich die Gleichung nach V auflösen, aber ich komme leider nur so weit: $ [mm] PV+\bruch{a}{V}-\bruch{ab}{V^2}= [/mm] $ Pb+RT
Irgendwie stehe ich gerade voll auf der Leitung und komme nicht weiter....
Ausklammern bringt ja hier nicht viel. Ich habe dann versucht auf der linken Seite alles auf einen Nenner zu bringen:
$ [mm] \bruch{PV^3+aV+ab}{V^2}=Pb+RT [/mm] $
Damit komme ich auch nicht weiter...
Hat jemand eine Idee?"
Wie wäre es, nach T aufzulösen, und dann es mit der Ableitung der Umkehrfunktion zu versuchen?
Für weitere Versuche bietet sich auch die Kettenregel an:
[mm] $\bruch{dV}{dT}=\bruch{dV}{dF}\bruch{dF}{dT}$ [/mm] und
[mm] $\bruch{dV}{dF}$ [/mm] über die Ableitung der Umkehrfunktion aus
[mm] $\bruch{dF}{dV}$. [/mm] Dann bist Du übringens so weit, dass Du die Ableitungen gar nicht mehr ausrechnen musst, weil Du gleich den allgemeinen Beweis hast.
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