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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:01 Di 22.03.2011 | | Autor: | diddy449 |
| Aufgabe | Sei [mm] I=m\IZ [/mm] ein Ideal von [mm] \IZ [/mm] mit [mm] 1\le m\in\IZ, a,b\in\IZ [/mm] und a+I eine Restklasse (R/I:={a+I : [mm] a\in [/mm] R} ist die Menge der Restklassen von R mod I).
Zeige: a+I=b+I [mm] \gdw a-b\in [/mm] I |
Hey,
zwei Fragen:
1.Was genau ist eine Restklasse?
Ist es die Menge, die durch festgewählte R und I in R/I erzeugt wird? Z.B in Z/2Z bestehe dann die Restklasse aus {0,1}.
Oder ist eine Restklasse die Menge der Elemente, die in R/I zum gleichen Element werden? Z.B bestehe dann in Z/2Z eine Restklasse aus {...,-1,1,3,...,1+2m} (halt alle Elemente aus Z, die in Z/2Z zu 1 werden).
2. Zeige: a+I=b+I [mm] \gdw a-b\in [/mm] I
Obwohl der Beweis sicher ganz einfach ist, hab ich leider ein paar Probleme dabei.
Mein Ansatz:
a+I=b+I
[mm] \gdw [/mm] a+mZ=b+mZ
[mm] \gdw r_{a}+qm+mZ [/mm] = [mm] r_{b}+pm+mZ
[/mm]
[mm] \gdw r_{a}+r_{b}=(p-q)m
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] m|a-b
[mm] \gdw a-b\in [/mm] I
danke schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:58 Mi 23.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Sei R ein Ring und I ein Ideal in R.
Zu 1.: für a [mm] \in [/mm] R ist die Restklasse a+I [mm] \in [/mm] R/I def. durch:
[mm] $a+I:=\{a+i: i \in I\}$
[/mm]
Zu 2.: Beh.: für a,b [mm] \in [/mm] R gilt: a+I=b+I [mm] \gdw [/mm] a-b [mm] \in [/mm] I.
Beweis: [mm] "\Rightarrow": [/mm] es ist a [mm] \in [/mm] a+I=b+I, also ex. ein i [mm] \in [/mm] I mit:
a=b+i.
Somit ist a-b=i [mm] \in [/mm] I.
[mm] "\Leftarrow": [/mm] Setze j:=a-b. Dann ist also j [mm] \in [/mm] I und a=j+b
Sei x [mm] \in [/mm] a+I. Dann ex ein i [mm] \in [/mm] I mit: x=a+i. Es folgt:
x= b+(j+i) [mm] \in [/mm] b+I.
Damit ist die Inklusion a+I [mm] \subseteq [/mm] b+I gezeigt. Genauso zeigt man: b+I [mm] \subseteq [/mm] a+I
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:27 Mi 23.03.2011 | | Autor: | diddy449 |
Alles klar, habs verstanden.
Danke für die Antwort trotz meiner schlecht verständlichen Fragestellung.
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