Ideale von M(nxn,K) K Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:23 So 05.11.2006 | | Autor: | Sanshine |
| Aufgabe | Sei K ein Körper, [mm] n\in \IN. [/mm] Sei [mm] R=M(n\times [/mm] n, K) der Ring aller [mm] n\times [/mm] n Matrizen über K.
Beh.: R besitzt genau zwei Ideale |
Moin!
Es wäre nett, wenn mir jemand mit dieser Aufgabe helfen würde, sogar nur vereinfacht für den Fall der [mm] 2\times2 [/mm] Matrizen. Ich gehe mal davon aus, dass die zwei betreffenden Ideale I=R selbst und I={0} sind.
Habe ein wenig in [mm] M(2\times2, [/mm] K) rumgerechnet, bin aber zu keinem Ergebnis gekommen. Habe versucht, mit determinanten und der Tatsache, dass die Kommutativität hier fehlt, rumzutriksen [mm] (A\in [/mm] I folgt immerhin [mm] AB,BA\in [/mm] I f.a. [mm] B\in [/mm] R.), um irgendwann zu einer Fallentscheidung zu kommen, dass A=0 oder A=1 wird, aber das hat irgendwie nie ganz geklappt.
Falscher Weg?
Wie gesagt, wäre für jede Hilfe dankbar,
San
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:04 So 05.11.2006 | | Autor: | statler |
Guten Tag Susann!
> Sei K ein Körper, [mm]n\in \IN.[/mm] Sei [mm]R=M(n\times[/mm] n, K) der Ring
> aller [mm]n\times[/mm] n Matrizen über K.
> Beh.: R besitzt genau zwei Ideale
> Moin!
> Es wäre nett, wenn mir jemand mit dieser Aufgabe helfen
> würde, sogar nur vereinfacht für den Fall der [mm]2\times2[/mm]
> Matrizen. Ich gehe mal davon aus, dass die zwei
> betreffenden Ideale I=R selbst und I={0} sind.
Die Lösungsstrategie kann wie folgt aussehen:
Wenn I [mm] \not= [/mm] {0} ist, gibt es eine Matrix in I, die [mm] \not= [/mm] 0 ist, die also mindestens einen Eintrag [mm] \not= [/mm] 0 hat. Durch Multiplikation mit geeigneten einfachen Matrizen von rechts und links kann ich erreichen, daß die Matrix außer diesem Eintrag nur 0en enthält. Dann kann ich wieder durch Multiplikation mit geeigneten Matrizen von links (damit verschiebe ich Zeilen) und rechts (für die Spalten) dieses eine Element an jede andere Stelle transportieren. Außerdem kann ich es mit Faktoren multiplizieren durch Multiplikation mit einer Diagonalmatrix. Und dann kann ich auch noch Matrizen addieren, ohne das Ideal zu verlassen. In Summe heißt das aber, ich kann durch diese Aktionen aus meiner Ursprungsmatrix [mm] \not= [/mm] 0 jede Matrix des vollen Ringes herstellen, also ist das Ideal dann der ganze Matrizenring.
Du mußt jetzt nur noch diese geeigneten Matrizen bestimmen 
Einen schönen Sonntag dabei, das norddeutsche Wetter ist ja ideal dafür
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:39 So 05.11.2006 | | Autor: | Sanshine |
Vielen, vielen Dank! Jetzt wirds schön:
Sei [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }=X\in I\not= [/mm] {0}. Sei oBdA [mm] a\not=0. [/mm] Seien [mm] A,B,C,D\in [/mm] R mit [mm] A=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }, B=\pmat{ a^{-1} & 0 \\ 0 & 0 }, C=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }.
[/mm]
Dann gilt: [mm] AXB=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] und [mm] (X-AX)C=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] beide in I, also auch die Summe, also die Eins, also I=R.
Fertig, werde jetzt das,hmmm, lauschige Norddeutsche Sonntagswetter genießen...
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