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| Aufgabe | | Seien [mm] I:=n\IZ [/mm] und [mm] J:=m\IZ [/mm] zwei von Null verschiedene Ideale in [mm] \IZ. [/mm] Zeige, dass die ganze Zahl n/ggT(n,m) das Ideale (I:J) erzeugt. |
Hallo zusammen,
ich habe folgendes gemacht:
Die Division ist folgend Definiert
[mm] (I:J)=\lbrace x\in\IZ| x\cdot J\subseteq I\rbrace
[/mm]
und [mm] n\IZ:=\lbrace n\cdot [/mm] a [mm] |a\in\IZ\rbrace =\langle n\rangle [/mm] und [mm] n\IZ:=\lbrace m\cdot [/mm] a| [mm] a\in\IZ\rbrace=\langle m\rangle
[/mm]
Also für
[mm] "\subseteq": [/mm] Sei [mm] x\in [/mm] (I:J) [mm] \Rightarrow xJ\subseteq [/mm] I,
[mm] \Rightarrow n=x\cdot [/mm] m
[mm] \Rightarrow [/mm] m|n und somit ist [mm] x=\bruch{n}{m} [/mm] und m=ggT(n,m)
somit ist [mm] x\in \langle \bruch{n}{ggT(n,m)}\rangle
[/mm]
stimmt diese richtung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:38 Mo 23.10.2017 | | Autor: | tobit09 |
Hallo questionpeter!
> Also für
> [mm]"\subseteq":[/mm] Sei [mm]x\in[/mm] (I:J) [mm]\Rightarrow xJ\subseteq[/mm] I,
>
> [mm]\Rightarrow n=x\cdot[/mm] m
> [mm]\Rightarrow[/mm] m|n und somit ist [mm]x=\bruch{n}{m}[/mm] und
> m=ggT(n,m)
>
> somit ist [mm]x\in \langle \bruch{n}{ggT(n,m)}\rangle[/mm]
>
> stimmt diese richtung?
Die Schlussfolgerung von [mm] $xJ\subseteq [/mm] I$ auf [mm] $n=x\cdot [/mm] m$ ist i.A. falsch, der Rest folgerichtig.
Die Bedingung [mm] $xJ\subseteq [/mm] I$ impliziert wegen [mm] $xm\in [/mm] J$ insbesondere [mm] $xm\in I=n\IZ$.
[/mm]
Damit existiert ein [mm] $k\in\mathbb{Z}$ [/mm] mit $xm=nk$.
Viele Grüße
Tobias
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