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Ideal Kreuzprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:50 Sa 07.07.2012
Autor: diab91

Aufgabe
Seien R,S kommutative Ringe. Beweisen Sie, dass die Ideale des kartesischen Produktes genau die Produkte IxJ sind, wobei I ein Ideal von R und J ein Ideal von S ist.

Guten Abend,

ich habe folgendes versucht:

Sei K ein beliebiges Ideal von RxS. Dann gilt:
1. (0,0) [mm] \in [/mm] K
2. [mm] \forall [/mm] (x,y),(x',y') [mm] \in [/mm] K: (x+x',y+y') [mm] \in [/mm] K
3. Sei (x,y) [mm] \in [/mm] K und (m,n) [mm] \in [/mm] RxS: (x*m,y*n) [mm] \in [/mm] K.

Da K [mm] \subseteq [/mm] RxS gelten für die erste Komponente von K die Axiome eines Ideals in R und in der zweiten die Axiome eines Ideals in S.

Damit wäre die Aufgabe doch bereits erledigt oder täusche ich mich da?

Schönen Gruß,
Diab91

        
Bezug
Ideal Kreuzprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:55 Sa 07.07.2012
Autor: hippias

Du hast sozusagen nur die eine Inklusion bewiesen.

Bezug
                
Bezug
Ideal Kreuzprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:59 Sa 07.07.2012
Autor: diab91

Moin,

Ok, ja. Aber wenn ich mir ein Ideal I von R und ein Ideal J von S wähle und das Kreuzprodukt davon betrachte, so gelten doch ebenfalls direkt die Ideal Axiome in RxS. Oder übersehe ich da was?

Schönen Gruß,
Diab91

Bezug
                        
Bezug
Ideal Kreuzprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:29 Sa 07.07.2012
Autor: fred97


> Moin,
>  
> Ok, ja. Aber wenn ich mir ein Ideal I von R und ein Ideal J
> von S wähle und das Kreuzprodukt davon betrachte, so
> gelten doch ebenfalls direkt die Ideal Axiome in RxS. Oder
> übersehe ich da was?

Sicherlich sollst auch das sauber niederschreiben

FRED

>  
> Schönen Gruß,
> Diab91


Bezug
        
Bezug
Ideal Kreuzprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:33 Sa 07.07.2012
Autor: fred97


> Seien R,S kommutative Ringe. Beweisen Sie, dass die Ideale
> des kartesischen Produktes genau die Produkte IxJ sind,
> wobei I ein Ideal von R und J ein Ideal von S ist.
>  Guten Abend,
>  
> ich habe folgendes versucht:
>  
> Sei K ein beliebiges Ideal von RxS. Dann gilt:
> 1. (0,0) [mm]\in[/mm] K
>  2. [mm]\forall[/mm] (x,y),(x',y') [mm]\in[/mm] K: (x+x',y+y') [mm]\in[/mm] K
>  3. Sei (x,y) [mm]\in[/mm] K und (m,n) [mm]\in[/mm] RxS: (x*m,y*n) [mm]\in[/mm] K.
>  
> Da K [mm]\subseteq[/mm] RxS gelten für die erste Komponente von K
> die Axiome eines Ideals in R und in der zweiten die Axiome
> eines Ideals in S.


Damit würde ich mich nicht begnügen !

Setze I= [mm] \{x \in R: \exists y \in S :(x,y) \in K \} [/mm]

und J= [mm] \{y \in S: \exists x \in R :(x,y) \in K \} [/mm]

und zeige, dass I ein Ideal in R und J ein Ideal in S ist


>  
> Damit wäre die Aufgabe doch bereits erledigt oder täusche
> ich mich da?

Und die Umkehrung ?

FRED

>  
> Schönen Gruß,
>  Diab91


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