Ideal, Kommutativ,Hauptidealb. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:37 Fr 18.12.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Zwei kleine (vlt. auch ganz triviale) Fragen, die bei mir aufgetaucht sind:
1) Frage:
Unser Prof. suchte nach einen nicht kommutativen Ring R mit Idealen I und J wo I*J [mm] \not= [/mm] J*I.
Er schrieb [mm] I=(\pmat{ 0 & 2 \\ 0 & 0 }), J=(\pmat{ 0 & 0 \\ 2& 0}) [/mm] an die Tafel.
Wir haben Produkte von zwei Idealen definiert als
$ [mm] I\cdot{}J:=\{x_1y_1+..+x_ny_n| n \ge 0, x_1,..,x_n \in I, y_1,.., y_n \in J\} [/mm] $
2) Frage:
Warum sind die geraden Zahl bzw allgemein [mm] m\mathbb{Z} [/mm] ein Hauptidealbereich? |
Hallo
1)
Mein Herumprobieren,:
[mm] \pmat{ a & b \\ c& d}\pmat{ 0 & 2 \\ 0 & 0}=\pmat{ 0 & 2a \\ 0 & 2c}\in [/mm] I
[mm] \pmat{ a & b \\ c& d}*\pmat{ 0 & 0 \\ 2& 0}=\pmat{ 2b& 0 \\ 2d& 0 }\in [/mm] J
[mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 2& 0}*\pmat{ a & b \\ c& d}=\pmat{ 0& 0 \\ 2a& 2b }\in [/mm] J [mm] \pmat{ e & f \\ g & h }* \pmat{ 0& 0 \\ 2a& 2b }= \pmat{ 2af & 2bf \\ 2ah & 2bh }\in [/mm] I
[mm] \pmat{ 0 & 2a \\ 0 & 2c}*\pmat{ 2b& 0 \\ 2d& 0 }= \pmat{ 2ad& 0 \\ 2cd& 0 }\in I\cdot [/mm] J mit nur einen Summanden. Meine Behauptung ist, dass [mm] \pmat{ 2ad& 0 \\ 2cd& 0 }\not\in J\cdot [/mm] I. Stimmt das & wie zeige ich das?
2)
Ein Unterring eines Hauptideslbereichs ( hier wäre es [mm] \mathbb{Z}) [/mm] muss ja nicht unbedingt auch ein Hauptidealbereich sein. Trotzdem wird die Tatsache in einen Beweis verwendet.
Mir geht es dabei nur um die Aussage, dass jedes Ideal in [mm] m\mathbb{Z} [/mm] von einen Element in m [mm] \mathbb{Z} [/mm] erzeugt wird.
LG,
sissi
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:14 Fr 18.12.2015 | | Autor: | hippias |
> Zwei kleine (vlt. auch ganz triviale) Fragen, die bei mir
> aufgetaucht sind:
> 1) Frage:
> Unser Prof. suchte nach einen nicht kommutativen Ring R
> mit Idealen I und J wo I*J [mm]\not=[/mm] J*I.
> Er schrieb [mm]I=(\pmat{ 0 & 2 \\ 0 & 0 }), J=(\pmat{ 0 & 0 \\ 2& 0})[/mm]
> an die Tafel.
> Wir haben Produkte von zwei Idealen definiert als
> [mm]I\cdot{}J:=\{x_1y_1+..+x_ny_n| n \ge 0, x_1,..,x_n \in I, y_1,.., y_n \in J\}[/mm]
>
> 2) Frage:
> Warum sind die geraden Zahl bzw allgemein [mm]m\mathbb{Z}[/mm] ein
> Hauptidealbereich?
>
> Hallo
>
> 1)
> Mein Herumprobieren,:
> [mm]\pmat{ a & b \\ c& d}\pmat{ 0 & 2 \\ 0 & 0}=\pmat{ 0 & 2a \\ 0 & 2c}\in[/mm]
> I
>
> [mm]\pmat{ a & b \\ c& d}*\pmat{ 0 & 0 \\ 2& 0}=\pmat{ 2b& 0 \\ 2d& 0 }\in[/mm]
> J
> [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 2& 0}*\pmat{ a & b \\ c& d}=\pmat{ 0& 0 \\ 2a& 2b }\in[/mm]
> J [mm]\pmat{ e & f \\ g & h }* \pmat{ 0& 0 \\ 2a& 2b }= \pmat{ 2af & 2bf \\ 2ah & 2bh }\in[/mm]
> I
>
> [mm]\pmat{ 0 & 2a \\ 0 & 2c}*\pmat{ 2b& 0 \\ 2d& 0 }= \pmat{ 2ad& 0 \\ 2cd& 0 }\in I\cdot[/mm]
> J mit nur einen Summanden. Meine Behauptung ist, dass
> [mm]\pmat{ 2ad& 0 \\ 2cd& 0 }\not\in J\cdot[/mm] I. Stimmt das & wie
> zeige ich das?
$I$ und $J$ sind einseitige Ideale? In diesem Fall sind die Elemente aus [mm] $I\cdot [/mm] J$ von der Gestalt [mm] $\pmat{ 4ad& 0 \\ 4cd& 0 }$ [/mm] - $4$, nicht $2$, Du hast Dich verschrieben - und Elemente aus [mm] $J\cdot [/mm] I$ von der Gestalt [mm] $\pmat{ 0 & 4ad \\ 0& 4cd }$.
[/mm]
>
>
> 2)
> Ein Unterring eines Hauptideslbereichs ( hier wäre es
> [mm]\mathbb{Z})[/mm] muss ja nicht unbedingt auch ein
> Hauptidealbereich sein. Trotzdem wird die Tatsache in einen
> Beweis verwendet.
> Mir geht es dabei nur um die Aussage, dass jedes Ideal in
> [mm]m\mathbb{Z}[/mm] von einen Element in m [mm]\mathbb{Z}[/mm] erzeugt
> wird.
Wegen [mm] $1\not\in m\IZ$ [/mm] ist [mm] $m\IZ$ [/mm] kein Unterring von [mm] $\IZ$. [/mm] Es ist aber eine Untergruppe der zyklischen Gruppe [mm] $(\IZ,+)$, [/mm] die dann wieder zyklisch ist. Dies macht den Ring [mm] $m\IZ$ [/mm] zu einem Hauptidealring.
>
> LG,
> sissi
|
|
|
|
