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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:47 Mo 27.04.2009 | | Autor: | Tasel |
| Aufgabe | Sei $R [mm] \not [/mm] = [mm] \{0\}$ [/mm] ein nullteilerfreier und kommutativer Ring. Zeigen Sie:
Das von [mm] $a_1, [/mm] ..., [mm] a_n \in [/mm] R$ erzeugte Ideal von $R$ ist [mm] $(a_1, [/mm] ..., [mm] a_n) [/mm] = [mm] \{\summe_{i=1}^{n} r_ia_i | r_1, ..., r_n \in R\}$. [/mm] |
Hallo!
Ich habe versucht diese Aufgabe wie folgt zu lösen, komme jedoch nicht zu einem ordentlichen Ergebnis:
Anfangen würde ich mit dem Ideal von [mm] $a_1$. [/mm] Dies wäre dann [mm] $(a_1) [/mm] = [mm] \{ ra_i : r \in R \}$.
[/mm]
Da $r$ ja unterschiedliche Elemente aus dem Ring $R$ annehmen kann, lassen sich Ideale der Form [mm] $\{r_1a_1, r_2a_1, r_3a_1, ..., r_ia_1\}$ [/mm] bilden. Das ganze geht natürlich auch mit [mm] $a_2$ [/mm] bis hin zu [mm] $a_n$. [/mm] Die gesamte Menge dieser Ideale wäre dann der Schnitt dieser Mengen:
[mm] $\{r_1a_1, ..., r_1a_n\} \cap \{r_2a_1, ..., r_2a_n\} \cap [/mm] ... [mm] \cap \{r_na_n, ..., r_na_n\}$.
[/mm]
Soweit bin ich bisher gekommen. Hoffe es stimmt einigermaßen. Wie komme ich jetzt von dieser Vereinigung hin zu der Summe?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:58 Mi 29.04.2009 | | Autor: | aklopo |
| Aufgabe | Sei R [mm] \not={0} [/mm] ein nullteilerfreier und kommutativer Ring. Zeige:
Das von [mm] a_{2},...,a_{n} [/mm] erzeugte Ideal von R ist [mm] (a_{1},...,a_{n})=\{\summe_{i=1}^{n}r_{i}a_{i} | r_{1},...,r_{n}\in R\}. [/mm] |
Moin,
Ich weiß, dass ich drei Eigenschaften zeigen muss um zu beweisen, dass [mm] a_{1},...,a_{n} [/mm] ein Ideal I ist.
Soweit ich weiß wäre das:
1) o [mm] \in [/mm] I
2) I abgeschlossen bezüglich "+" und "-" in R
3) Für alle a [mm] \in [/mm] I und r [mm] \in [/mm] R gilt: a*r [mm] \in [/mm] I und r*a [mm] \in [/mm] I
Erstens sollte schon durch die Aufgabenstellung erfüllt sein.
Zu zweitens und drittens:
Ich vermute, dass ich etwas von der Form
n*a + n*b = n*(a+b) [mm] \in [/mm] I
n*a - n*b = n*(a-b) [mm] \in [/mm] I
und
(n*a)*b = n*(a*b) [mm] \in [/mm] I
b*(n*a) = n*(a*b) [mm] \in [/mm] I
anführen muss. allerdings weiß ich nicht wie ich das ganze für die Summe zeige. Oder habe ich die Aufgabe da vollkommen falsch verstanden?
Danke im Vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo.
zu 1.) Es ist nicht schwer einzusehen, dass [mm] 0\in (a_{1},...,a_{n}) [/mm] ist. Wähle nämlich [mm] r_{i}=0 [/mm] für alle [mm] i\in\{1,..n\}.
[/mm]
zu 2.) Abgeschlossenheit bzgl. "+".
Seien also [mm] a,b\in (a_{1},...,a_{n}) [/mm] dann gibt es Darstellungen [mm] a=\summe_{i=1}^{n}r_{i}a_{i} [/mm] und [mm] b=\summe_{i=1}^{n}s_{i}a_{i}.
[/mm]
Es ist also [mm] a+b=\summe_{i=1}^{n}r_{i}a_{i}+\summe_{i=1}^{n}s_{i}a_{i}. [/mm] Nun solltest du dich erinnern, dass du in einem Ring rechnest und das Distributivgesetz gilt. Es folgt also die Aussage unmittelbar, da dein Ring abgeschlossen bzgl + ist. Das solltest du allerdings formalisieren.
Abgeschlossenheit bzgl. Multiplikation geht ähnlich.
Zu 3.)
Das Dürfte nun klar sein.
Grüße Elvis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Do 30.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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