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σ - Algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:15 Do 15.07.2010
Autor: G-Hoernle

Ich komm mit der Definition der σ-Algebra noch nicht ganz klar, vielleicht kann es mir jemand anhand folgendem Beispiel erklären?

Erfüllt A = [mm] \{\emptyset, \{1,2,3,4,5,6\},{\1,2,3,4,6\},\{5\},\{1,2,3,4,5\},\{6\}\} [/mm] die Eigenschaften einer σ-Algebra?

Ich weiß, die Antwort ist nein, aber begründen kann ichs leider nicht, auch wenn ich mir die Definition anschaue ...

        
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σ - Algebra: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:17 Do 15.07.2010
Autor: G-Hoernle

hmm so sollte meine Menge jetzt eigentlich nicht aussehen ...

[mm] (\emptyset, [/mm] (1,2,3,4,5,6),(1,2,3,4,6),(5),(1,2,3,4,5),(6))

habe die eckigen klammern durch runde ersetzt, damit es richtig angezeigt wird

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σ - Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:38 Do 15.07.2010
Autor: Marc

Hallo,

> Ich komm mit der Definition der σ-Algebra noch nicht ganz
> klar, vielleicht kann es mir jemand anhand folgendem
> Beispiel erklären?
>  
> Erfüllt A = [mm]{\emptyset, {1,2,3,4,5,6},{1,2,3,4,6},{5},{1,2,3,4,5},{6}}[/mm]
> die Eigenschaften einer σ-Algebra?
>  
> Ich weiß, die Antwort ist nein, aber begründen kann ichs
> leider nicht, auch wenn ich mir die Definition anschaue ...

[mm] $\mathcal{A}= \{\emptyset, \{1,2,3,4,5,6\},\{1,2,3,4,6\},\{5\},\{1,2,3,4,5\},\{6\}\}$ [/mm]

Die alleinige Angabe eines Mengensystems reicht nicht aus, um zu entscheiden, dass es sich um eine MBSigma-Algebra handelt. Es fehlt die Angabe einer Grundmenge [mm] $\Omega$. [/mm] Wäre diese in deinem Beispiel [mm] $\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7\}$, [/mm] dann wäre [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] keine [mm] $\sigma$-Algebra, [/mm] da [mm] $\Omega\not\in\mathcal{A}$. [/mm]
Ich gehe hier jedoch davon aus, dass [mm] $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ [/mm] ist.

Dass du bei Ansicht der MBDefinition die [mm] $\sigma$-Algebra-Eigenschaft [/mm] nicht widerlegen kannst, kann ich fast nicht glauben...
Die ersten beiden Bedingungen sind sicher erfüllt, aber die dritte scheitert... mehr muss ich hoffentlich nicht sagen ;-) falls doch, melde dich bitte mit deinen Ansätzen.

Viele Grüße,
Marc


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σ - Algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:51 Do 15.07.2010
Autor: G-Hoernle

Gefragt wurde, ob es die Eigenschaften einer σ-Algebra erfüllen kann - demnach ist keine gegeben, es muss eine gefunden werden oder eben nicht :)

Kommen wir zur Eigenschaft 3, ich schreibe einfach mal auf wie ich glaube zu wissen, dass das abläuft und du unterbrichst mich dort, wo es grottig wird :)

$ [mm] \cal [/mm] A $ ist in vielen fällen gleich der potenzmenge von [mm] \Omega, [/mm] oft auch teilmenge der potenzmenge. Eine Potenzmenge kann elemente der menge beliebig oft aneinander reihen. also kann $ [mm] \cal [/mm] A $ beliebig viele mengen enthalten, hauptsache die elemente der menge kommen in [mm] \Omega [/mm] vor.

Wahrscheinlich war das jetzt von vorne bis hinten falsch :-/

gruß und danke für deine hilfe
ghoernle

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σ - Algebra: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:57 Do 15.07.2010
Autor: G-Hoernle

meine definition der potenzmenge war schonmal falsch. $ [mm] \cal [/mm] A $  darf nur aus Teilmengen von [mm] \Omega [/mm] bestehen.

bringt mich der lösung leider noch nicht näher :(

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σ - Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:08 Fr 16.07.2010
Autor: Marc

Hallo ghoernle,

> Gefragt wurde, ob es die Eigenschaften einer σ-Algebra
> erfüllen kann - demnach ist keine gegeben, es muss eine
> gefunden werden oder eben nicht :)

Okay, das macht dann bei dieser Fragestellung Sinn.
  

> Kommen wir zur Eigenschaft 3, ich schreibe einfach mal auf
> wie ich glaube zu wissen, dass das abläuft und du
> unterbrichst mich dort, wo es grottig wird :)
>  
> [mm]\cal A[/mm] ist in vielen fällen gleich der potenzmenge von
> [mm]\Omega,[/mm] oft auch teilmenge der potenzmenge. Eine
> Potenzmenge kann elemente der menge beliebig oft aneinander
> reihen. also kann [mm]\cal A[/mm] beliebig viele mengen enthalten,
> hauptsache die elemente der menge kommen in [mm]\Omega[/mm] vor.
>  
> Wahrscheinlich war das jetzt von vorne bis hinten falsch
> :-/

Zunächst sehe ich nicht, was das überhaupt mit der Eigenschaft 3 zu tun hat?

Es scheint, du hättest die Begriffe Element, Menge, Teilmenge, Mengensystem bzw. MBPotenzmenge noch nicht richtig verstanden.

Betrachten wir mal die in deinem Beispiel einzig sinnvolle Wahl für [mm] $\Omega$, [/mm] nämlich [mm] $\Omega:=\{1,2,3,4,5,6\}$. [/mm]
Dies ist eine Menge, die aus den 6 Elementen 1,2,3,4,5,6 besteht.
Mit diesen Elementen kann man Teilmengen von [mm] $\Omega$ [/mm] bilden, z.B. ist die Menge [mm] $\{1,2,3\}$ [/mm] eine Teilmenge von [mm] $\Omega$, [/mm] in Zeichen [mm] $\{1,2,3\}\subset\Omega$. [/mm] Ein bisschen genauer definiert man: $A$ ist Teilmenge von [mm] $\Omega$ [/mm] (also [mm] $A\subset\Omega$), [/mm] wenn für jedes Element aus $A$ gilt, dass es auch in [mm] $\Omega$ [/mm] enthalten ist.
Mengen sind wieder wohlunterscheidbare Objekte, können also wieder als Elemente einer Menge aufgefasst werden. So ist zum Beispiel
[mm] $\{\{1,2,3\},\{1,2,3,4\}\}$ [/mm] eine Menge mit zwei Elementen, nämlich dem Element [mm] "$\{1,2,3\}$" [/mm] und [mm] "$\{1,2,3,4\}$". [/mm] Eine solche Menge von Mengen nennt man MBMengensystem.
Die Potenzmenge einer Menge [mm] $\Omega$ [/mm] ist die Menge aller Teilmengen von [mm] $\Omega$, [/mm] also ein spezielles Mengensystem.
In deinem Beispiel besitzt die Potenzmenge [mm] $2^6=64$ [/mm] Elemente, nämlich alle Teilmengen von [mm] $\Omega$: [/mm]
[mm] $\mathcal{P}(\Omega)=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{5\},\{6\},\{1,2\},\{1,3\},\ldots,\Omega\}$ [/mm]

Man könnte auch sagen, dass jedes (mit [mm] $\Omega$ [/mm] gebildete) Mengensystem eine Teilmenge der Potenzmenge ist ("oft" ist also von dir falsch verwendet).

Eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist nun ein spezielles Mengensystem, nämlich eines, das die MBhier genannten Bedingungen erfüllen muss.

Die dritte Bedingung fordert (unter anderem), dass mit je zwei Mengen aus [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] auch deren Vereinigung(smenge) in [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] liegen muss. Ich mache dir das mal vor:
Zum Beispiel sind ja die Mengen [mm] $\{1,2,3,4,5\}$ [/mm] und [mm] $\{6\}$ [/mm] in [mm] $\mathcal{A}$. [/mm] Ihre Vereinigung [mm] $\{1,2,3,4,5\}\cup\{6\}=\{1,2,3,4,5,6\}$ [/mm] liegt ebenfalls in [mm] $\mathcal{A}$. [/mm] Für diese beiden Mengen gilt also die Bedingung 3. Diese muss aber für beliebige Mengen aus [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] gelten. Mein Tipp war also, dass du zwei Mengen aus [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] finden sollst, deren Vereinigung nicht in [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] liegt. Probiere das mal und melde dich! :-)

Viel Erfolg,
Marc

>  
> gruß und danke für deine hilfe
>  ghoernle


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