\IZ[\wurzel{2}] dicht in \IR < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Leute,
in der Vorlesung zur algebraischen Zahlentheorie hatten wir die Randbemerkung, dass die Menge [mm] \IZ[\wurzel{2}] [/mm] dicht in [mm] \IR [/mm] liegt.
Ich versuch gerade, das zu beweisen, aber tu mich schwer damit.
Ich will zeigen, dass es zu zwei zahlen [mm] z_{1}=a_{1}+b_{1}\wurzel{2} [/mm] und [mm] z_{2}=a_{2}+b_{2}\wurzel{2} [/mm] eine zahl z [mm] \in \IZ[\wurzel{2}] [/mm] gibt, sodass [mm] z_{1} [/mm] < z < [mm] z_{2} [/mm] gilt.
Dabei habe ich verschiedene Fälle betrachtet:
1. [mm] b_{1} [/mm] = [mm] b_{2}: [/mm] Hier kann ich z = [mm] (a_{1}+2) [/mm] + [mm] (b_{2}-1)\wurzel{2} [/mm] nehmen.
2. [mm] a_{1} [/mm] = [mm] a_{2}: [/mm] Hier tut es z = [mm] (a_{1}+1) [/mm] + [mm] (b_{2}-1)\wurzel{2}
[/mm]
3. [mm] b_{1} [/mm] < [mm] b_{2}, a_{1} [/mm] < [mm] a_{2}: [/mm] In diesem Fall geht z = [mm] (a_{1}+1) [/mm] + [mm] b_{1}\wurzel{2}
[/mm]
4. [mm] b_{1} [/mm] < [mm] b_{2}, a_{1} [/mm] > [mm] a_{2}: [/mm] Hier tut es ebenso z = [mm] (a_{1}+1) [/mm] + [mm] b_{1}\wurzel{2}
[/mm]
Fehlt noch der Fall [mm] b_{1} [/mm] > [mm] b_{2} [/mm] (Dann gilt automatisch [mm] a_{2} [/mm] > [mm] a_{1})
[/mm]
Ich hab hier jetzt einige Zeit rumgebastelt, aber rausgekommen ist am Ende nur Stuss.
Hat vllt. jemand ne Idee, wie ich z für den letzten Fall wählen kann? Oder gibts vielleicht ne viel elegantere Methode um zu zeigen, dass [mm] \IZ[\wurzel{2}] [/mm] dicht in [mm] \IR [/mm] ist?
Wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen würde.
Viele Grüße
Anfänger
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Hiho,
> in der Vorlesung zur algebraischen Zahlentheorie hatten wir
> die Randbemerkung, dass die Menge [mm]\IZ[\wurzel{2}][/mm] dicht in
> [mm]\IR[/mm] liegt.
>
> Ich versuch gerade, das zu beweisen, aber tu mich schwer damit.
Ok.
> Ich will zeigen, dass es zu zwei zahlen [mm]z_{1}=a_{1}+b_{1}\wurzel{2}[/mm] und [mm]z_{2}=a_{2}+b_{2}\wurzel{2}[/mm] eine zahl z [mm]\in \IZ[\wurzel{2}][/mm] gibt, sodass [mm]z_{1}[/mm] < z < [mm]z_{2}[/mm] gilt.
Wozu? Um zu zeigen, dass [mm] \IZ[\sqrt{2}] [/mm] dicht in [mm] \IR [/mm] ist, musst du doch nur zeigen, dass es zu jeder reellen Zahl r und jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein z [mm] \in \IZ[\sqrt{2}] [/mm] gibt mit $|r-z| < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
In diesem Fall reicht es sich auf [mm] $r\in(0,1)$ [/mm] zu beschränken (warum?).
Nun mach dir mal klar, dass aus der Irrationalität von [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] folgt, dass es ein $b [mm] \in \IZ$ [/mm] gibt, so dass [mm] $b*\sqrt{2} [/mm] - [mm] \lfloor b*\sqrt{2} \rfloor [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
MFG,
Gono.
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Hallo Gonozal,
hab gedacht, dass es einen einfacheren Weg gibt anstelle des [mm] \varepsilon [/mm] Kriteriums.
Ich denk mal, dass es reicht, sich auf den Fall r [mm] \in [/mm] (0,1) zu beschränken, da es eine Bijektion zwischen (0,1) und [mm] \IR [/mm] gibt.
Dass aus der Irrationalität folgt, dass es ein b [mm] \in \IZ [/mm] gibt, sodass [mm] b*\sqrt{2} [/mm] - [mm] \lfloor b*\sqrt{2} \rfloor [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] gilt, ist mir allerdings überhaupt nicht klar (Anschaulich klingt es sinnvoll, aber das muss ja noch nichts heißen).
Auch sehe ich nicht, wie mir das insgesamt weiterhelfen soll. :-(
Wär nett, wenn du noch ein bisschen mehr dazu sagen könntest.
Viele Grüße
Anfänger
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Do 22.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hallo Gonozal,
>
> hab gedacht, dass es einen einfacheren Weg gibt anstelle
> des [mm]\varepsilon[/mm] Kriteriums.
>
Was heißt eigentlich $A$ liege dicht in [mm] $\IR\,?$ [/mm] Doch, daß es zu $a, b [mm] \in \IR, [/mm] a<b$ ein [mm] $q\in [/mm] A$ gibt mit [mm] $a
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:17 Do 22.11.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Wenn dem so ist, dann liegt doch [mm]\IZ[\sqrt 2][/mm] nicht dicht in [mm]\IR[/mm], oder?
Oder 
> Wenn ich mich nicht täusche, haben doch je zwei Elemente von [mm]\IZ[\sqrt 2][/mm] voneinander mindestens den Abstand [mm]\sqrt 2 - 1\,.[/mm]
Da täuschst du dich.
Beispielsweise hat [mm] $10^{12}*\sqrt{2} [/mm] - [mm] \lfloor 10^{12}*\sqrt{2}\rfloor$ \in \IZ[\sqrt{2}] [/mm] einen kleineren Abstand zu 0 [mm] \in \IZ[\sqrt{2}] [/mm] als [mm] $\sqrt{2} [/mm] - 1$.
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:28 Do 22.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Gono,
>
> > Wenn dem so ist, dann liegt doch [mm]\IZ[\sqrt 2][/mm] nicht dicht
> in [mm]\IR[/mm], oder?
>
> Oder
>
> > Wenn ich mich nicht täusche, haben doch je zwei Elemente
> von [mm]\IZ[\sqrt 2][/mm] voneinander mindestens den Abstand [mm]\sqrt 2 - 1\,.[/mm]
>
> Da täuschst du dich.
> Beispielsweise hat [mm]10^{12}*\sqrt{2} - \lfloor 10^{12}*\sqrt{2}\rfloor[/mm]
> [mm]\in \IZ[\sqrt{2}][/mm] einen kleineren Abstand zu 0 [mm]\in \IZ[\sqrt{2}][/mm]
> als [mm]\sqrt{2} - 1[/mm].
Ahh. Klar. Da habe ich mich getäuscht!
Danke für die Erhellung.
Gruß,
Wolfgang
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Hiho,
> Ich denk mal, dass es reicht, sich auf den Fall r [mm]\in[/mm] (0,1)
> zu beschränken, da es eine Bijektion zwischen (0,1) und [mm]\IR[/mm] gibt.
Nein.
Das liegt einfach daran, wenn ich eine Zahl beliebig nah an [mm] $r\in\IR^+$ [/mm] suche, ich r eben schreiben kann als $r = [mm] \lfoor r\rfloor [/mm] + x$ mit [mm] $x\in [/mm] [0,1]$
Finde ich nun ein [mm] $z\in\IZ[\sqrt{2}]$ [/mm] beliebig nah an x, so liegt [mm] $\lfoor [/mm] r [mm] \rfloor [/mm] + z [mm] \in \IZ[\sqrt{2}]$ [/mm] beliebig nah an r 
>
> Dass aus der Irrationalität folgt, dass es ein b [mm]\in \IZ[/mm]
> gibt, sodass [mm]b*\sqrt{2}[/mm] - [mm]\lfloor b*\sqrt{2} \rfloor[/mm] <
> [mm]\varepsilon[/mm] gilt, ist mir allerdings überhaupt nicht klar
> (Anschaulich klingt es sinnvoll, aber das muss ja noch nichts heißen).
> Auch sehe ich nicht, wie mir das insgesamt weiterhelfen soll. :-(
Dazu schreib ich was, wenn ichs genauer durchdacht hab, denn mein gedachter Ansatz klappt nicht so ohne weiteres ^^
Daher lass ich die Frage erstmal auf halb beantwortet.
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:43 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo,
Siehe Königsberger, Analysis 1, Abschnitt 5.8, Aufgabe 13 samt Lösung, nach der für irrationales $x$ jeder Punkt in $[0;1]$ ein Häufungswert der Folge [mm] $x_n=nx [/mm] - [mm] \lfloor nx\rfloor$ [/mm] ist.
Grüße,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:46 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Ah super, sowas hab ich gesucht.
Danke Wolfgang!
MFG,
Gono.
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Danke euch beiden, jetzt ist alles klar.
Viele Grüße
Anfänger
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