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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:38 Di 10.05.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo,
Ich habe eine Frage,
Jeder Ring ist in eindeutiger Weise eine [mm] \IZ-Algebra.
[/mm]
Das heißt doch das Jeder Ring, alles hat was [mm] \IZ [/mm] hat oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:10 Di 10.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo NECO!
> Jeder Ring ist in eindeutiger Weise eine [mm]\IZ-Algebra.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Das heißt doch das Jeder Ring, alles hat was [mm]\IZ[/mm]Eingabefehler: "\begin" und "\end" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
hat
> oder?
Nein, das heißt es überhaupt nicht!
Es bedeutet, dass jeder Ring $R$ durch den unitären Homomorphismus
$\varphi : \begin{array}{ccc} \IZ & \to & R\\[5pt] z & \mapsto & \mbox{sign}(z)\, \underbrace{(1_R + \ldots + 1_R)}_{|z|\ \mbox{\scriptsize Stück}} \end {array}$
zu einer $\IZ$-Agebra wird.
Wichtig ist: Das gilt auch für nicht-kommutative Ringe, da $\varphi(\IZ) \subset Z(R)$ gilt, wobei $Z(R)$ das Zentrum von $R$ ist (also die Menge der Ringelemente, die mit allen anderen Ringelementen multiplikativ vertauschen).
Definiert man für $z \in \IZ$ und $r \in R$:
$zr:= \varphi(z) \cdot r$,
so gelten für $R$ als $\IZ$-Algebra im Wesentlichen die Gesetze eines $K$-Vektorraums $V$, plus zusätzlich für $z \in \IZ$ und $r,s \in R$:
$z(rs) = (zr)s$.
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:08 Di 10.05.2005 | | Autor: | NECO |
Danke, jetz habe ich verstanden.
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