ISP impliziert Dedek.Schnitt < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:58 Sa 12.11.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen!
Ich habe mal wieder eine Frage zu einem Beweis.
Konkret geht es um den Beweis, dass das Intervallschachtelungsprinzip das Dedekind'sché Schnittaxiom impliziert.
Der Beweis lautet wie folgt
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Angenommen wir haben zwei nichtleere, disjunkte Mengen A, B [mm] \subset \IQ [/mm] mit A [mm] \cup [/mm] B = [mm] \IQQ [/mm] und x [mm] \in [/mm] A, y [mm] \in [/mm] B impliziert x < y. Sei a [mm] \in [/mm] A und b [mm] \in [/mm] B. Wir definieren rekursiv eine Folge von geschachtelten, abgeschlossenen Intervallen
[mm] I_m [/mm] = [mm] [a_m, b_m], a_m \in [/mm] A, [mm] b_m \in [/mm] B
mit [mm] \limes_{m\rightarrow\infty} diam(I_m) [/mm] = 0.
Setze [mm] a_1 [/mm] = a, [mm] b_1 [/mm] = b. Angenommen wir hätten [mm] a_m \in [/mm] A, [mm] b_m \in [/mm] B konstruiert. Wir geben nun die Regel an, mit deren Hilfe wir [mm] a_{m+1}, b_{m+1} [/mm] konstruieren. Wir unterscheiden zwei Fälle:
1) Ist [mm] \frac{a_m + b_m}{2} \in [/mm] A, setze [mm] a_{m+1} [/mm] = [mm] \frac{a_m + b_m}{2}, b_{m+1} [/mm] = [mm] b_m
[/mm]
2) Ist [mm] \frac{a_m + b_m}{2} \in [/mm] B, setze [mm] a_{m+1} [/mm] = [mm] a_m, b_{m+1} [/mm] = [mm] \frac{a_m + b_m}{2}.
[/mm]
Dann ist [mm] diam(I_{m+1}) [/mm] = [mm] \frac{1}{2} diam(I_m) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}(b-a)*2^{-m+1} [/mm] = [mm] (b-a)*2^{-m}. [/mm]
[mm] diam(I_m) [/mm] konvergiert gegen 0 nach dem Satz über Wachstum für Potenzen und es gibt nach dem Intervallschachtelungsprinzip genau eine reelle Zahl x [mm] \in \bigcap_{m\in\IN} I_m. [/mm] Wir behaupten nun, x habe die gewünschten Eigenschaften.
Erstens: für alle a [mm] \in [/mm] A ist x [mm] \ge [/mm] a: Angenommen es gibt ein [mm] a_0 \in [/mm] A mit [mm] a_0 [/mm] > x. Dann ist für alle b [mm] \in [/mm] B
b - x > b - [mm] a_0.
[/mm]
Da die Folgenglieder [mm] b_m \in [/mm] B liegen und zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein N [mm] \in \IN [/mm] existiert, so dass n > N impliziert [mm] b_n [/mm] - [mm] a_n [/mm] < [mm] \epsilon, [/mm] erhält man mit
b - [mm] a_0 [/mm] < [mm] b_n [/mm] - x [mm] \le b_n [/mm] - [mm] a_n [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] < b - [mm] a_0
[/mm]
für [mm] \epsilon [/mm] < b - [mm] a_0 [/mm] einen Widerspruch.
Zweitens gilt für alle b [mm] \in [/mm] B die Ungleichung b [mm] \ge [/mm] x. Die Begründung ist eine Kopie der oben angegebenen Begründung.
Damit hat x die gewünschten Eigenschaften. Zu gegebenem x [mm] \in \IR [/mm] erhält man einen Schnitt durch
A = [mm] \{y\in\IQ | y < x \} [/mm] und B = [mm] \{y\in\IQ | y \ge x \}
[/mm]
---
Um nun zu meinen Fragen zu kommen:
Ich verstehe den Teil
> Erstens: für alle a [mm] \in [/mm] A ist x [mm] \ge [/mm] a: Angenommen es gibt ein [mm] a_0 \in [/mm] A mit [mm] >a_0 [/mm] > x. Dann ist für alle b [mm] \in [/mm] B
> b - x > b - [mm] a_0.
[/mm]
> Da die Folgenglieder [mm] b_m \in [/mm] B liegen und zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein N [mm] \in >\IN [/mm] existiert, so dass n > N impliziert [mm] b_n [/mm] - [mm] a_n [/mm] < [mm] \epsilon, [/mm] erhält man mit
> b - [mm] a_0 [/mm] < [mm] b_n [/mm] - x [mm] \le b_n [/mm] - [mm] a_n [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] < b - [mm] a_0
[/mm]
> für [mm] \epsilon [/mm] < b - [mm] a_0 [/mm] einen Widerspruch.
> Zweitens gilt für alle b [mm] \in [/mm] B die Ungleichung b [mm] \ge [/mm] x. Die Begründung ist > eine Kopie der oben angegebenen Begründung.
> Damit hat x die gewünschten Eigenschaften. Zu gegebenem x [mm] \in \IR [/mm] > erhält man einen Schnitt durch
> A = [mm] \{y\in\IQ | y < x \} [/mm] und B = [mm] \{y\in\IQ | y \ge x \}
[/mm]
nicht.
-- Was ich glaube zu verstehen:
1) "Erstens: für alle a [mm] \in [/mm] A ist x [mm] \ge [/mm] a: Angenommen es gibt ein [mm] a_0 \in [/mm] A mit [mm] a_0 [/mm] > x. Dann ist für alle b [mm] \in [/mm] B
b - x > b - [mm] a_0. [/mm] "
Da die Annahme lautet, dass es ein [mm] a_0 \in [/mm] A mit [mm] a_0 [/mm] > x gibt, kann ich dies umformen zu -x > [mm] -a_0 [/mm] und durch Addition von b auf beiden Seiten komme ich auf die Ungleichung.
Wäre das soweit in Ordnung? Und haben alle a [mm] \in [/mm] A etwas mit der oberen Definition zu tun, dass [mm] a_1 [/mm] = a und [mm] b_1 [/mm] = b gesetzt wird? Oder ist dieses a unabhängig davon?
2) Alle Folgenglieder [mm] b_m [/mm] liegen in B ist auch klar.
3) Kann ich mir den Satz "Zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0
existiert ein N [mm] \in \IN, [/mm] sodass für n > N [mm] b_n [/mm] - [mm] a_n [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] gilt" so vorstellen, dass weil die Länge der Intervalle [mm] [a_m, b_m] [/mm] gegen 0 konvergiert, man hier die übliche Definition der Konvergenz anwendet und weil [mm] a_m \le b_m [/mm] für alle m ist, man die Betragsstriche weglässt weil überflüssig?
-- Was ich nicht mehr verstehe:
1) Die lange Ungleichungskette "b - [mm] a_0 [/mm] < [mm] b_n [/mm] - x [mm] \le b_n [/mm] - [mm] a_n [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] < b - [mm] a_0". [/mm] Wie kommt man darauf?
Den analogen Schritt mit b [mm] \ge [/mm] x lasse ich mal außen vor, bis ich den ersten verstanden habe 
2) Wieso kann man aus der insgesamt resultierenden Ungleichungskette a [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] b die Mengen A = [mm] \{y\in\IQ | y < x \} [/mm] und B = [mm] \{y\in\IQ | y \ge x \} [/mm] folgern?
Müsste dazu nicht schärfer gelten a < x?
Ich wäre für eure Antworten wie immer sehr dankbar!
VG X3nion
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:56 So 13.11.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo X3nion!
Bevor ich wild herum spekuliere: Wie ist das Dedekindsche Schnittaxiom genau formuliert in der dir vorliegenden Quelle?
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:40 So 13.11.2016 | | Autor: | X3nion |
Hi Tobias,
sorry das habe ich versäumt zu erwähnen!
Der Dedekind'sche Schnitt ist in der Literatur definiert wie folgt:
Eine Zerlegung von Q in zwei disjunkte Mengen A, B mit
D1 A ∪ B = Q,
D2 ∀ x∈A,∀ y∈B gilt x<y
wird als Dedekindscher Schnitt bezeichnet.
Und das Dedekind'sche Schnittaxiom:
Jeder Dedekindsche Schnitt (A,B) definiert genau eine reelle Zahl z mit x ∈ A ⇒ x ≤ z und y ∈ B ⇒ z ≤ y und zu jeder reellen Zahl z findet sich ein Dedekindscher Schnitt (A, B) mit a ≤ z, z ≤ b für alle a ∈ A und alle b ∈ B.
VG X3nion
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 So 13.11.2016 | | Autor: | tobit09 |
> sorry das habe ich versäumt zu erwähnen!
Kein Problem. Danke für das Posten der Definitionen.
> Der Dedekind'sche Schnitt ist in der Literatur definiert
> wie folgt:
>
> Eine Zerlegung von Q in zwei disjunkte Mengen A, B mit
> D1 A ∪ B = Q,
> D2 ∀ x∈A,∀ y∈B gilt x<y
> wird als Dedekindscher Schnitt bezeichnet.
Sicherlich heißt es: "Eine Zerlegung von [mm] $\IQ$ [/mm] in zwei nichtleere disjunkte Mengen...".
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 So 13.11.2016 | | Autor: | tobit09 |
> Konkret geht es um den Beweis, dass das
> Intervallschachtelungsprinzip das Dedekind'sché
> Schnittaxiom impliziert.
(Unter der Annahme des Archimedischen Axioms.)
> -- Was ich glaube zu verstehen:
>
> 1) "Erstens: für alle a [mm]\in[/mm] A ist x [mm]\ge[/mm] a: Angenommen es
> gibt ein [mm]a_0 \in[/mm] A mit [mm]a_0[/mm] > x. Dann ist für alle b [mm]\in[/mm] B
> b - x > b - [mm]a_0.[/mm] "
>
> Da die Annahme lautet, dass es ein [mm]a_0 \in[/mm] A mit [mm]a_0[/mm] > x
> gibt, kann ich dies umformen zu -x > [mm]-a_0[/mm] und durch
> Addition von b auf beiden Seiten komme ich auf die
> Ungleichung.
>
> Wäre das soweit in Ordnung?
Ja.
> Und haben alle a [mm]\in[/mm] A etwas
> mit der oberen Definition zu tun, dass [mm]a_1[/mm] = a und [mm]b_1[/mm] = b
> gesetzt wird? Oder ist dieses a unabhängig davon?
Letzteres. Hier hat der Autor des Beweises unbeabsichtigterweise a in zweierlei verschiedener Bedeutungen verwendet.
> 3) Kann ich mir den Satz "Zu jedem [mm]\epsilon[/mm] > 0
> existiert ein N [mm]\in \IN,[/mm] sodass für n > N [mm]b_n[/mm] - [mm]a_n[/mm] <
> [mm]\epsilon[/mm] gilt" so vorstellen, dass weil die Länge der
> Intervalle [mm][a_m, b_m][/mm] gegen 0 konvergiert, man hier die
> übliche Definition der Konvergenz anwendet und weil [mm]a_m \le b_m[/mm]
> für alle m ist, man die Betragsstriche weglässt weil
> überflüssig?
Genau.
> -- Was ich nicht mehr verstehe:
>
> 1) Die lange Ungleichungskette "b - [mm]a_0[/mm] < [mm]b_n[/mm] - x [mm]\le b_n[/mm] -
> [mm]a_n[/mm] < [mm]\epsilon[/mm] < b - [mm]a_0".[/mm]
Mir ist unklar, wie b hier gewählt sein soll.
Anscheinend versucht der Autor, b in Abhängigkeit von n, n in Abhängigkeit von [mm] $\epsilon$ [/mm] und [mm] $\epsilon$ [/mm] wiederum in Abhängigkeit von b zu wählen.
Das kann nicht funktionieren.
Ein Rettungsvorschlag:
Wir wählen [mm] $\epsilon:=a_0-x>0$.
[/mm]
Es gibt nun ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] mit [mm] $b_n-a_n<\epsilon$ [/mm] für alle $n>N$.
Insbesondere für $n:=N+1$ erhalten wir:
[mm] $b_n-a_n<\epsilon=a_0-x
und damit den gewünschten Widerspruch.
Damit ist bewiesen, dass jeder Dedekindsche Schnitt MINDESTENS eine Zahl definiert. Noch zu zeigen sind (salopp formuliert):
i) Jeder Dedekindsche Schnitt definiert höchstens eine Zahl.
ii) Jede Zahl wird durch einen Dedekindschen Schnitt definiert.
> 2) Wieso kann man aus der insgesamt resultierenden
> Ungleichungskette a [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] b die Mengen A = [mm]\{y\in\IQ | y < x \}[/mm]
> und B = [mm]\{y\in\IQ | y \ge x \}[/mm] folgern?
> Müsste dazu nicht schärfer gelten a < x?
Hier geht es um den Nachweis von ii), der völlig unabhängig vom restlichen Beweis ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Di 15.11.2016 | | Autor: | X3nion |
Hi Tobias,
ich bedanke mich erst einmal für deinen Rettungsvorschlag 
> Ein Rettungsvorschlag:
> Wir wählen [mm] $\epsilon:=a_0-x>0$.
[/mm]
> Es gibt nun ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] mit [mm] $b_n-a_n<\epsilon$ [/mm] für alle $n>N$.
> Insbesondere für $n:=N+1$ erhalten wir:
> [mm] $b_n-a_n<\epsilon=a_0-x
> und damit den gewünschten Widerspruch.
Diesen versuche ich nun nachzuvollziehen:
Wählt man also [mm] \epsilon:= a_0 [/mm] - x > 0 und dies kann man wählen, da die Annahme ja lautet, es gäbe ein [mm] a_0 [/mm] > x und das wäre gleichbedeutend mit [mm] a_0 [/mm] - x > 0.
Dass es ein N [mm] \in \IN [/mm] gibt mit [mm] b_n [/mm] - [mm] a_n [/mm] < [mm] \epsilon \forall [/mm] n > N ist mir klar.
Du schreibst noch, dass insbesondere für n:= N + 1 man dann mit
[mm] b_n [/mm] - [mm] a_n [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] = [mm] a_0 [/mm] - x < [mm] b_n [/mm] - x [mm] \le b_n [/mm] - [mm] a_n
[/mm]
den gewünschten Widerspruch erhält.
Nun habe ich noch konkret ein paar Fragen:
1) Ist es so, dass [mm] a_0 [/mm] - x < [mm] b_n [/mm] - x gilt, da nach Voraussetzung der Mengen A und B alle Elemente von A kleiner sind als alle Elemente von B sind und somit auch [mm] a_0 [/mm] < [mm] b_n [/mm] gilt?
2) Und gilt [mm] b_n [/mm] - x [mm] \le b_n [/mm] - [mm] a_n, [/mm] da nur ein [mm] a_0 [/mm] > x angenommen wurde und sonst für alle restlichen Elemente von A gilt x [mm] \ge [/mm] a, also für alle n > 0 sonst gilt x [mm] \ge a_n [/mm] ?
3) Ist der Widerspruch dann in diesem Falle [mm] b_n [/mm] - [mm] a_n [/mm] < [mm] b_n [/mm] - [mm] a_n [/mm] ?
4) Ist es notwendig zum Zeigen des Widerspruches, n:= N + 1 zu setzen, oder könnte man n > N stehen lassen?
> Damit ist bewiesen, dass jeder Dedekindsche Schnitt MINDESTENS eine > Zahl definiert. Noch zu zeigen sind (salopp formuliert):
> i) Jeder Dedekindsche Schnitt definiert höchstens eine Zahl.
> ii) Jede Zahl wird durch einen Dedekindschen Schnitt definiert.
Nun habe ich dazu noch zwei Fragen.
Zum einen: Wieso ist hiermit nur bewiesen, dass jeder Dedekindsche Schnitt mindestens eine reelle Zahl definiert?
Nach dem Prinzip der Intervallschachtelung gibt es ja genau eine reelle Zahl x, die in allen Intervallen liegt, deren Länge gegen 0 konvergiert.
Und zum anderen: Müsste für den Punkt i) Jeder Dedekindsche Schnitt definiert höchstens eine reelle Zahl noch der analog funktionierende Beweis x [mm] \le [/mm] b durchgeführt werden?
Ich wäre wie immer dankbar für eure Antworten!
VG X3nion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:53 Di 15.11.2016 | | Autor: | tobit09 |
> > Ein Rettungsvorschlag:
>
> > Wir wählen [mm]\epsilon:=a_0-x>0[/mm].
> > Es gibt nun ein [mm]N\in\IN[/mm] mit [mm]b_n-a_n<\epsilon[/mm] für alle
> [mm]n>N[/mm].
> > Insbesondere für [mm]n:=N+1[/mm] erhalten wir:
>
> > [mm]b_n-a_n<\epsilon=a_0-x
>
> > und damit den gewünschten Widerspruch.
>
> Diesen versuche ich nun nachzuvollziehen:
>
> Wählt man also [mm]\epsilon:= a_0[/mm] - x > 0 und dies kann man
> wählen, da die Annahme ja lautet, es gäbe ein [mm]a_0[/mm] > x und
> das wäre gleichbedeutend mit [mm]a_0[/mm] - x > 0.
>
> Dass es ein N [mm]\in \IN[/mm] gibt mit [mm]b_n[/mm] - [mm]a_n[/mm] < [mm]\epsilon \forall[/mm]
> n > N ist mir klar.
>
> Du schreibst noch, dass insbesondere für n:= N + 1 man
> dann mit
> [mm]b_n[/mm] - [mm]a_n[/mm] < [mm]\epsilon[/mm] = [mm]a_0[/mm] - x < [mm]b_n[/mm] - x [mm]\le b_n[/mm] - [mm]a_n[/mm]
> den gewünschten Widerspruch erhält.
Ja.
> Nun habe ich noch konkret ein paar Fragen:
>
> 1) Ist es so, dass [mm]a_0[/mm] - x < [mm]b_n[/mm] - x gilt, da nach
> Voraussetzung der Mengen A und B alle Elemente von A
> kleiner sind als alle Elemente von B sind und somit auch
> [mm]a_0[/mm] < [mm]b_n[/mm] gilt?
Genau.
> 2) Und gilt [mm]b_n[/mm] - x [mm]\le b_n[/mm] - [mm]a_n,[/mm] da nur ein [mm]a_0[/mm] > x
> angenommen wurde und sonst für alle restlichen Elemente
> von A gilt x [mm]\ge[/mm] a, also für alle n > 0 sonst gilt x [mm]\ge a_n[/mm] ?
Die Ungleichung [mm] $x\ge a_n$ [/mm] gilt, da x in allen konstruierten Intervallen liegt, insbesondere [mm] $x\in[a_n,b_n]$.
[/mm]
> 3) Ist der Widerspruch dann in diesem Falle [mm]b_n[/mm] - [mm]a_n[/mm] < [mm]b_n[/mm]
> - [mm]a_n[/mm] ?
Ja.
> 4) Ist es notwendig zum Zeigen des Widerspruches, n:= N + 1
> zu setzen, oder könnte man n > N stehen lassen?
Man könnte auch $n:=N+2$ oder $n:=n+9999999$ nehmen.
Wichtig ist nur: Es gibt mindestens ein $n>N$, mithilfe dessen man zum gewünschten Widerspruch kommt.
> > Damit ist bewiesen, dass jeder Dedekindsche Schnitt
> MINDESTENS eine > Zahl definiert. Noch zu zeigen sind
> (salopp formuliert):
> > i) Jeder Dedekindsche Schnitt definiert höchstens eine
> Zahl.
> > ii) Jede Zahl wird durch einen Dedekindschen Schnitt
> definiert.
>
>
> Nun habe ich dazu noch zwei Fragen.
>
> Zum einen: Wieso ist hiermit nur bewiesen, dass jeder
> Dedekindsche Schnitt mindestens eine reelle Zahl
> definiert?
> Nach dem Prinzip der Intervallschachtelung gibt es ja
> genau eine reelle Zahl x, die in allen Intervallen liegt,
> deren Länge gegen 0 konvergiert.
Das ist in der Tat der wesentliche Teil der Argumentation für i):
Jede von unserem Dedekindschen Schnitt definierte Zahl $x'$ erfüllt insbesondere [mm] $x'\in[a_n,b_n]$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] und damit $x'=x$.
> Und zum anderen: Müsste für den Punkt i) Jeder
> Dedekindsche Schnitt definiert höchstens eine reelle Zahl
> noch der analog funktionierende Beweis x [mm]\le[/mm] b
> durchgeführt werden?
Der Nachweis von [mm] $x\le [/mm] b$ für alle [mm] $b\in [/mm] B$ ist noch Bestandteil des Nachweises, dass jeder Dedekindsche Schnitt MINDESTENS eine reelle Zahl definiert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Di 15.11.2016 | | Autor: | X3nion |
Hi Tobias,
danke für deinen Beitrag!
Ich habe noch eine Frage zu dem Punkt den ich gefragt habe
> 2) Und gilt $ [mm] b_n [/mm] $ - x $ [mm] \le b_n [/mm] $ - $ [mm] a_n, [/mm] $ da nur ein $ [mm] a_0 [/mm] $ > x
> angenommen wurde und sonst für alle restlichen Elemente
> von A gilt x $ [mm] \ge [/mm] $ a, also für alle n > 0 sonst gilt x $ [mm] \ge a_n [/mm] $ ?
Da hast du geschrieben:
> Die Ungleichung $ [mm] x\ge a_n [/mm] $ gilt, da x in allen konstruierten Intervallen
> liegt, insbesondere $ [mm] x\in[a_n,b_n] [/mm] $.
Aber es wird ja für den Widerspruchsbeweis die Annahme benutzt, dass es ein [mm] a_0 [/mm] > x gäbe. Somit würde ja in dieser Annahme nicht [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] gelten, dass x [mm] \ge a_n, [/mm] sondern [mm] \forall [/mm] n > 0, also alle [mm] a_n [/mm] außer [mm] a_0, [/mm] oder?
Eine Frage habe ich noch zu der mindestens / höchstens Aussage:
Führt das Intervallschachtelungsprinzip dazu, dass der Dedekind'sche Schnitt genau eine reelle Zahl definiert, da es genau eine reelle Zahl x gibt, die in allen Intervallen [mm] [a_n, b_n] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] liegt?
Und zwei Fragen noch zum Schluss des Beweises:
Was meint der Autor mit:
"Damit hat x die gewünschten Eigenschaften" ?
Und wie folgt der Autor insgesamt auf die zwei Mengen
A = [mm] \{y\in\IQ | y < x \} [/mm] und B = [mm] \{y\in\IQ | y \ge x \} [/mm] ?
VG X3nion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Di 15.11.2016 | | Autor: | tobit09 |
> Ich habe noch eine Frage zu dem Punkt den ich gefragt habe
>
> > 2) Und gilt [mm]b_n[/mm] - x [mm]\le b_n[/mm] - [mm]a_n,[/mm] da nur ein [mm]a_0[/mm] > x
> > angenommen wurde und sonst für alle restlichen
> Elemente
> > von A gilt x [mm]\ge[/mm] a, also für alle n > 0 sonst gilt x
> [mm]\ge a_n[/mm] ?
>
> Da hast du geschrieben:
>
> > Die Ungleichung [mm]x\ge a_n[/mm] gilt, da x in allen konstruierten
> Intervallen
> > liegt, insbesondere [mm]x\in[a_n,b_n] [/mm].
>
>
> Aber es wird ja für den Widerspruchsbeweis die Annahme
> benutzt, dass es ein [mm]a_0[/mm] > x gäbe. Somit würde ja in
> dieser Annahme nicht [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] gelten, dass x [mm]\ge a_n,[/mm]
> sondern [mm]\forall[/mm] n > 0, also alle [mm]a_n[/mm] außer [mm]a_0,[/mm] oder?
Die Bezeichnung [mm] $a_0$ [/mm] ist vom Autor ungünstig gewählt. Sie bezeichnet ein beliebiges vorgegebenes Element von A hat nichts mit den Intervallrandpunkten [mm] $a_n$ [/mm] für [mm] $n\in\IN$ [/mm] zu tun.
Für die Randpunkte [mm] $a_n$ [/mm] der konstruierten Intervalle wissen wir ohnehin, dass [mm] $x\in[a_n,b_n]$ [/mm] und somit [mm] $x\ge a_n$ [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] 1$.
Gezeigt werden soll nun für beliebiges [mm] $a_0\in [/mm] A$, dass [mm] $x\ge a_0$.
[/mm]
> Eine Frage habe ich noch zu der mindestens / höchstens
> Aussage:
>
> Führt das Intervallschachtelungsprinzip dazu, dass der
> Dedekind'sche Schnitt genau eine reelle Zahl definiert, da
> es genau eine reelle Zahl x gibt, die in allen Intervallen
> [mm][a_n, b_n] \forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] liegt?
Letztlich ja.
(Dazu ist zu überlegen, dass die von (A,B) definierten Zahlen genau diejenigen sind, die in allen Intervallen [mm] $[a_n,b_n]$ [/mm] für [mm] $n\in\IN$ [/mm] liegen.
Genau das haben wir im Grunde schon getan.)
> Und zwei Fragen noch zum Schluss des Beweises:
>
> Was meint der Autor mit:
> "Damit hat x die gewünschten Eigenschaften" ?
Damit meint der Autor die Eigenschaften a ≤ x für alle [mm] $a\in [/mm] A$ und x ≤ b für alle [mm] $b\in [/mm] B$.
> Und wie folgt der Autor insgesamt auf die zwei Mengen
>
> A = [mm]\{y\in\IQ | y < x \}[/mm] und B = [mm]\{y\in\IQ | y \ge x \}[/mm] ?
Wie gesagt hat dieser Teil nichts mit dem vorhergehenden Beweisteil zu tun.
Hier wird nachgewiesen, dass zu einer beliebig vorgegebenen Zahl x ein Dedekindscher Schnitt (A,B) existiert, der x definiert (d.h. der a ≤ x für alle [mm] $a\in [/mm] A$ und x ≤ b für alle [mm] $b\in [/mm] B$ erfüllt).
(In einer vorhergehenden Antwort habe ich diesen Teil mit ii) bezeichnet.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:37 Mi 16.11.2016 | | Autor: | X3nion |
Hi Tobias,
danke für deine weiteren Erklärungen!
Im "Eifer des Gefechts" habe ich total vergessen, worum es eigentlich geht ... nämlich dass man das Dedekind'sche Schnittaxiom aus dem Intervallschachtelungsprinzip folgern muss, und das Schnittaxiom war ja wie folgt definiert in der Literatur:
"Jeder Dedekindsche Schnitt (A,B) definiert genau eine reelle Zahl z mit x ∈ A ⇒ x ≤ z und y ∈ B ⇒ z ≤ y und zu jeder reellen Zahl z findet sich ein Dedekindscher Schnitt (A, B) mit a ≤ z, z ≤ b für alle a ∈ A und alle b ∈ B. "
Und das sind ja zwei verschiedene Aussagen!
Wo ich noch Verständnisprobleme habe ist in dem Punkt, welche Stellen aus dem Beweis jetzt aussagen, dass jeder Dedekind'sche Schnitt mindestens eine reelle Zahl definiert, und was konkret dann dazukommt, damit dieser höchstens eine reelle Zahl definiert und somit insgesamt, damit dieser genau eine reelle Zahl definiert.
Kannst du oder jemand anders mir das irgendwie versuchen zu erklären?
Und den letzten Punkt verstehe ich leider immer noch nicht.
Wie würden die Schritte lauten, dass sich zu jeder reellen Zahl z ein Dedekindscher Schnitt (A, B) mit a ≤ z, z ≤ b für alle a ∈ A und alle b ∈ B findet?
Der Autor schreibt einfach die zwei Mengen hin und dass sich zu jeder reellen Zahl ein Dedekind'scher Schnitt findet, aber er weist da gar nichts nach?
Über eure Antworten würde ich mich freuen!
VG X3nion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Mi 16.11.2016 | | Autor: | tobit09 |
> Wo ich noch Verständnisprobleme habe ist in dem Punkt,
> welche Stellen aus dem Beweis jetzt aussagen, dass jeder
> Dedekind'sche Schnitt mindestens eine reelle Zahl
> definiert,
Mithilfe des Intervallschachtelungsprinzips erhalten wir eine Zahl x, die in allen konstruierten Intervallen liegt.
Von dieser Zahl haben wir nachgewiesen, dass [mm] $a\le [/mm] x$ für alle [mm] $a\in [/mm] A$ und [mm] $x\le [/mm] b$ für alle [mm] $b\in [/mm] B$ gilt.
Also ist die Zahl x eine von (A,B) definierte Zahl.
Insbesondere definiert (A,B) mindestens eine Zahl.
> und was konkret dann dazukommt, damit dieser
> höchstens eine reelle Zahl definiert und somit insgesamt,
> damit dieser genau eine reelle Zahl definiert.
Wie gesagt:
Sei $x'$ eine weitere von (A,B) definierte Zahl, d.h. [mm] $a\le [/mm] x'$ für alle [mm] $a\in [/mm] A$ und [mm] $x'\le [/mm] b$ für alle [mm] $b\in [/mm] B$.
Insbesondere liegt $x'$ dann in allen konstruierten Intervallen [mm] $[a_n,b_n]$.
[/mm]
Also liefert die Eindeutigkeitsaussage des Intervallschachtelungsprinzips $x'=x$.
Somit ist $x$ die einzige von (A,B) definierte Zahl.
> Und den letzten Punkt verstehe ich leider immer noch
> nicht.
>
> Wie würden die Schritte lauten, dass sich zu jeder reellen
> Zahl z ein Dedekindscher Schnitt (A, B) mit a ≤ z, z ≤
> b für alle a ∈ A und alle b ∈ B findet?
> Der Autor schreibt einfach die zwei Mengen hin und dass
> sich zu jeder reellen Zahl ein Dedekind'scher Schnitt
> findet, aber er weist da gar nichts nach?
Der Autor hält den Nachweis für so leicht, dass er ihn dem Leser überlässt.
Zu zeigen ist für A = $ [mm] \{y\in\IQ | y < x \} [/mm] $ und B = $ [mm] \{y\in\IQ | y \ge x \} [/mm] $:
(A,B) ist ein Dedekindscher Schnitt, d.h.
a) [mm] $A\cup B=\IQ$
[/mm]
und
b) Für alle [mm] $a\in [/mm] A$ und alle [mm] $b\in [/mm] B$ gilt $a<b$.
(A,B) definiert x, d.h.
c) Für alle [mm] $a\in [/mm] A$ gilt [mm] $a\le [/mm] x$ und für alle [mm] $b\in [/mm] B$ gilt [mm] $x\le [/mm] b$.
Kriegst du den Nachweis von a), b) und c) selbst hin?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:43 Do 17.11.2016 | | Autor: | X3nion |
Hi Tobias,
danke für deine Antwort!
Ich verstehe leider immer noch nicht, wieso zunächst einmal jeder Dedekind'sche Schnitt (A,B) mindestens eine reelle Zahl definiert.
Reicht nicht als Begründung dafür, dass (A,B) genau eine reelle Zahl definiert, dass das ISP genau eine reelle Zahl definiert?
Du führst ja noch den Schritt aus mit der Annahme, dass x' eine weitere von (A,B) definierte Zahl ist.
Ist dieser notwendig?
In dem Schritt folgerst du - wegen x' eine von (A,B) definierte Zahl - dass a [mm] \le [/mm] x' für alle a [mm] \in [/mm] A und x' [mm] \le [/mm] b für alle b [mm] \in [/mm] B.
Dann folgerst du, dass x' dann insbesondere in allen konstruierten Intervallen [mm] [a_n, b_n] [/mm] liegt.
Aber in dem Beweis wird ja zuerst das Intervallschachtelungsprinzip angewandt und dann geprüft, ob a [mm] \le [/mm] x für alle a [mm] \in [/mm] A und x [mm] \le [/mm] b für alle b [mm] \in [/mm] B.
Wieso kann man das also, so wie du es gemacht hast, einfach umdrehen und erst einmal annehmen, dass aufgrund des Dedekind'schen Schnittaxioms a [mm] \le [/mm] x' für alle a [mm] \in [/mm] A und x' [mm] \le [/mm] b für alle b [mm] \in [/mm] B ist und daraus dann folgern, dass x' in allen Intervallen liegt und somit insgesamt folgern, dass aufgrund der Eindeutigkeit des ISP gilt x' = x ?
Müsste man nicht zuerst wie im Beweis das ISP anwenden und danach prüfen, ob a [mm] \le [/mm] x' für alle a [mm] \in [/mm] A und x' [mm] \le [/mm] b für alle b [mm] \in [/mm] B ist?
Im Beweis wird ja erstmal ein x konstruiert und danach werden die Ungleichungen ja bewiesen und nicht gefolgert.
Zum letzten Punkt habe ich auch noch Fragen:
Wieso wählt der Autor die zwei Mengen A [mm] =\{y\in\IQ | y < x \} [/mm] und B = [mm] \{y\in\IQ | y \ge x \} [/mm] auf einmal so, obwohl die Mengen so bisher noch nicht im Beweis vorgekommen sind?
Muss man die Mengen so wählen, oder könnte man einfach wie oben einen Dedekind'schen Schnitt allgemein mit den zwei Definitionen D1 A ∪ B = Q,
D2 ∀ x∈A,∀ y∈B gilt x<y definieren?
Und wird für diesen Beweisteil das Intervallschachtelungsprinzip gebraucht, oder ist dies einfach ein unabhängiger Teil des bisher erfolgten Beweises?
Ich denke ich bin kurz davor, den Beweis zu verstehen, aber es braucht noch ein kleines Fünkchen, welches überspringen müsste
Wäre für eure Antworten wie immer dankbar!
VG X3nion
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:29 Fr 18.11.2016 | | Autor: | tobit09 |
> Ich verstehe leider immer noch nicht, wieso zunächst
> einmal jeder Dedekind'sche Schnitt (A,B) mindestens eine
> reelle Zahl definiert.
Das wird dadurch bewiesen, dass mithilfe des ISP eine reelle Zahl x gefunden wird, von der dann nachgewiesen wird, dass sie von (A,B) definiert wird.
> Reicht nicht als Begründung dafür, dass (A,B) genau eine
> reelle Zahl definiert, dass das ISP genau eine reelle Zahl
> definiert?
Mir wäre das zu knapp.
Mithilfe des ISP erhalten wir genau eine Zahl x. Von dieser Zahl haben wir nachgewiesen, dass sie von (A,B) definiert wird.
Das schließt erst einmal nicht aus, dass es weitere Zahlen x' geben könnte, die wir zwar nicht per ISP aus den konstruierten Intervallen erhalten, die aber dennoch von (A,B) definiert werden.
Um dies doch auszuschließen, überlegt man sich, dass jede von (A,B) definierte Zahl tatsächlich in allen konstruierten Intervallen liegt.
Damit lässt sich dann doch letztlich mithilfe der Eindeutigkeitsaussage des ISP die gewünschte Eindeutigkeit der von (A,B) definierten Zahl zeigen.
> Du führst ja noch den Schritt aus mit der Annahme, dass x'
> eine weitere von (A,B) definierte Zahl ist.
> Ist dieser notwendig?
Man muss ihn natürlich nicht genau so formulieren, wie ich es getan habe.
Aber man muss sich die Eindeutigkeit der von (A,B) definierten Zahl klarmachen, da die Definition des Dedekindschen Schnitt-Axioms dies verlangt.
> In dem Schritt folgerst du - wegen x' eine von (A,B)
> definierte Zahl - dass a [mm]\le[/mm] x' für alle a [mm]\in[/mm] A und x'
> [mm]\le[/mm] b für alle b [mm]\in[/mm] B.
> Dann folgerst du, dass x' dann insbesondere in allen
> konstruierten Intervallen [mm][a_n, b_n][/mm] liegt.
Ja.
> Aber in dem Beweis wird ja zuerst das
> Intervallschachtelungsprinzip angewandt und dann geprüft,
> ob a [mm]\le[/mm] x für alle a [mm]\in[/mm] A und x [mm]\le[/mm] b für alle b [mm]\in[/mm]
> B.
Dieser Teil des Beweises dient dem Nachweis der Existenz einer von (A,B) definierten Zahl.
"Mein" Beweis mit dem x' dient hingegen dem Nachweis der Eindeutigkeit der von (A,B) definierten Zahl.
> Wieso kann man das also, so wie du es gemacht hast,
> einfach umdrehen und erst einmal annehmen, dass aufgrund
> des Dedekind'schen Schnittaxioms a [mm]\le[/mm] x' für alle a [mm]\in[/mm] A
> und x' [mm]\le[/mm] b für alle b [mm]\in[/mm] B ist
Nicht aufgrund des Dedekindschen Schnittaxioms (das wollen wir ja gerade nachweisen), sondern aufgrund der Annahme, dass es sich bei x' um eine weitere von (A,B) definierte Zahl handelt.
Diese Annahme ist Teil des Eindeutigkeitsnachweises: Wir müssen zeigen: Jede Zahl x', die von (A,B) definiert wird, stimmt schon mit unserer gefundenen Zahl x überein. Dazu nehmen wir an, dass x' eine von (A,B) definierte Zahl ist und zeigen $x'=x$.
> und daraus dann folgern,
> dass x' in allen Intervallen liegt und somit insgesamt
> folgern, dass aufgrund der Eindeutigkeit des ISP gilt x' =
> x ?
> Müsste man nicht zuerst wie im Beweis das ISP anwenden
Worauf bzw. was möchtest du dem ISP entnehmen?
> und danach prüfen, ob a [mm]\le[/mm] x' für alle a [mm]\in[/mm] A und x'
> [mm]\le[/mm] b für alle b [mm]\in[/mm] B ist?
Das ist gerade die Bedeutung der Annahme, dass $x'$ von (A,B) definiert wird.
> Im Beweis wird ja erstmal ein x konstruiert und danach
> werden die Ungleichungen ja bewiesen und nicht gefolgert.
Ja. Da geht es ja auch um Existenz und nicht um Eindeutigkeit einer von $(A,B)$ definierten Zahl.
> Zum letzten Punkt habe ich auch noch Fragen:
> Wieso wählt der Autor die zwei Mengen A [mm]=\{y\in\IQ | y < x \}[/mm]
> und B = [mm]\{y\in\IQ | y \ge x \}[/mm] auf einmal so, obwohl die
> Mengen so bisher noch nicht im Beweis vorgekommen sind?
Weil er jetzt etwas anderes zeigen möchte als zuvor.
Im Grunde besteht der Beweis (abgesehen vom ursprünglich fehlenden Eindeutigkeitsnachweis) aus zwei separaten Beweisen:
Zum einen Existenz einer von (A,B) definierten Zahl für jeden Dedekindschen Schnitt (A,B).
Zum anderen Existenz eines x definierenden Dedekindschen Schnittes für jede Zahl x.
In beiden Beweisen werden teils die gleichen Bezeichnungen für unterschiedliche Zwecke verwendet.
Das macht aber nichts, da die beiden Beweisteile ja unabhängig voneinander sind und der Autor jeweils verrät, was er mit den Bezeichnungen meint.
> Muss man die Mengen so wählen, oder könnte man einfach
> wie oben einen Dedekind'schen Schnitt allgemein mit den
> zwei Definitionen D1 A ∪ B = Q,
> D2 ∀ x∈A,∀ y∈B gilt x<y definieren?
Es soll ja gerade die Existenz eines solchen Dedekindschen Schnittes, der x definiert, nachgewiesen werden.
Das tut man naheliegenderweise dadurch, dass man einen solchen Dedekindschen Schnitt konkret angibt.
Hingegen würde einfach nur "wir hätten gerne ein Paar (A,B) mit diesen und jenen Eigenschaften" ja nicht die Existenz eines solchen Paares (A,B) nachweisen.
> Und wird für diesen Beweisteil das
> Intervallschachtelungsprinzip gebraucht, oder ist dies
> einfach ein unabhängiger Teil des bisher erfolgten
> Beweises?
Tatsächlich kommt dieser Beweisteil ohne ISP aus.
Hingegen braucht man das Archimedische Axiom, um nachzuweisen, dass die angegebenen Mengen A und B nichtleer sind.
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:55 So 20.11.2016 | | Autor: | X3nion |
Hi Tobias,
noch einmal ein großes Dankeschön für deinen Aufwand mir den Beweis verständlich zu machen, ich habe nun die Vorgehensweise verstanden!
Insbesondere der Punkt mit der Eindeutigkeit der reellen Zahl x hat mir gegen Ende ein paar Probleme gemacht.
Aber weil es - wie du schreibst - sein könnte, dass es noch weitere durch (A,B) definierte Zahlen geben könnte, die man nicht aus den durch das ISP konstruierten Intervallen erhält, muss man noch beweisen, dass es sich bei den durch (A,B) definierten Zahlen um genau diejenigen handelt, die allen konstruierten Intervallen liegt.
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Dazu geht man von der anderen Seite heran und nimmt an, dass es sich bei x' um eine weitere von (A,B) definierte Zahl handelt, also dass gilt a $ [mm] \le [/mm] $ x' für alle a $ [mm] \in [/mm] $ A und x' $ [mm] \le [/mm] $ b für alle b $ [mm] \in [/mm] $ B.
Insbesondere liegt x' dann in [mm] [a_n, b_n] [/mm] für alle n [mm] \in \IN, [/mm] denn [mm] a_n \in [/mm] A und [mm] b_n \in [/mm] B und somit ist [mm] a_n \le [/mm] x' für alle n und x' [mm] \le b_n [/mm] für alle n.
Insgesamt muss also wegen dem Intervallschachtelungsprinzip x = x' gelten.
Wäre dieser Gedankengang so korrekt?
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Und der letzte Schritt ist mir nun auch klar, also dass man konkret einen Dedekind'schen Schnitt angibt und dann nachprüft, ob die geforderten Eigenschaften erfüllt werden, also dass erst einmal (A,B) ein Dedekind'scher Schnitt ist und dann, dass (A,B) eine reelle Zahl x definiert, also dass
für alle $ [mm] a\in [/mm] A $ gilt $ [mm] a\le [/mm] x $ und für alle $ [mm] b\in [/mm] B $ gilt $ [mm] x\le [/mm] b $
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Das versuche ich jetzt mal:
a) $ [mm] A\cup B=\IQ [/mm] $
und
b) Für alle $ [mm] a\in [/mm] A $ und alle $ [mm] b\in [/mm] B $ gilt $ a<b $.
c) A und B sind jeweils nichtleer
d) A und B sind disjunkt.
(A,B) definiert x, d.h.
e) Für alle $ [mm] a\in [/mm] A $ gilt $ [mm] a\le [/mm] x $ und für alle $ [mm] b\in [/mm] B $ gilt $ [mm] x\le [/mm] b $.
Es werde also definiert A $ [mm] =\{y\in\IQ | y < x \} [/mm] $ und B = $ [mm] \{y\in\IQ | y \ge x \} [/mm] $
c) Erst einmal sind A und B nichtleer. Denn für die Menge A gilt:
Es gibt nach dem Archimedischen Axiom ein m [mm] \in \IN, [/mm] sodass m * y > -xy, wobei y [mm] \not= [/mm] 0 und y > 0. Dann ist m * y > -xy <=> m > -x <=> -m < x.
Da -m [mm] \in \IQ, [/mm] folgt -m [mm] \in [/mm] A.
Für die Menge B gilt:
Nach dem archimedischen Axiom gibt es ein m [mm] \in \IN, [/mm] sodass m*y > x*y mit y [mm] \not= [/mm] 0 und y > 0. Dann ist m*y > x*y <=> m > x. Da m [mm] \in \IQ, [/mm] folgt m [mm] \in [/mm] B.
d) A und B sind disjunkt:
A enthält alle Elemente [mm] y_a \in \IQ [/mm] mit [mm] y_a [/mm] < x und B alle Elemente [mm] y_b \in \IQ [/mm] mit [mm] y_b \ge [/mm] x. Somit gilt [mm] y_a [/mm] < x [mm] \le y_b. [/mm] für alle [mm] y_a [/mm] und [mm] y_b.
[/mm]
x ist also eine obere Schranke für alle Elemente aus A und gleichzeitig untere Schranke für alle Elemente aus B. Folglich kann nicht [mm] y_b \in [/mm] A sein und umgekehrt, A und B sind also disjunkt.
b) Für alle $ [mm] a\in [/mm] A $ und alle $ [mm] b\in [/mm] B $ gilt $ a<b $ :
Da a < x [mm] \le [/mm] b für alle a [mm] \in [/mm] A und b [mm] \in [/mm] B ist (siehe in Punkt d) ) gibt es zwei Möglichkeiten:
Ist x=b, so ist a < b. Ist x < b, So ist a < x < b und folglich a < b.
a) Da A aus allen rationalen Zahlen a mit a < x besteht, und B aus allen rationalen Zahlen b mit b [mm] \ge [/mm] x besteht, ist B genau das Komplement zu A.
Somit bildet die Vereinigung A [mm] \cup [/mm] B = [mm] \IQ
[/mm]
e) Da a < x [mm] \le [/mm] b, gilt insbesondere auch a [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] b.
Wäre der Nachweis soweit in Ordnung?
Und wie würde ich nachweisen, dass x reell ist?
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VG X3nion
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Di 22.11.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:00 Fr 18.11.2016 | | Autor: | tobit09 |
> > Wie würden die Schritte lauten, dass sich zu jeder
> reellen
> > Zahl z ein Dedekindscher Schnitt (A, B) mit a ≤ z, z
> ≤
> > b für alle a ∈ A und alle b ∈ B findet?
> > Der Autor schreibt einfach die zwei Mengen hin und dass
> > sich zu jeder reellen Zahl ein Dedekind'scher Schnitt
> > findet, aber er weist da gar nichts nach?
> Der Autor hält den Nachweis für so leicht, dass er ihn
> dem Leser überlässt.
>
> Zu zeigen ist für A = [mm]\{y\in\IQ | y < x \}[/mm] und B =
> [mm]\{y\in\IQ | y \ge x \} [/mm]:
>
> (A,B) ist ein Dedekindscher Schnitt, d.h.
> a) [mm]A\cup B=\IQ[/mm]
> und
> b) Für alle [mm]a\in A[/mm] und alle [mm]b\in B[/mm] gilt [mm]a
>
> (A,B) definiert x, d.h.
> c) Für alle [mm]a\in A[/mm] gilt [mm]a\le x[/mm] und für alle [mm]b\in B[/mm] gilt
> [mm]x\le b[/mm].
>
> Kriegst du den Nachweis von a), b) und c) selbst hin?
Leider habe ich zwei Eigenschaften vergessen, die zum Nachweis gehören, dass $(A,B)$ ein Dedekindscher Schnitt ist:
d) A und B sind jeweils nichtleer
e) A und B sind disjunkt.
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