INTEGRAL. FLÄCHEN BERECHNEN < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:42 Di 28.09.2004 | | Autor: | gore |
Hi,
habe folgendes Problem:
f(x)= -x²+4x
Nun soll zu dieser Funktion von f eine Gerade y=tx bestimmt werden, welche die Fläche, die die Funktion f und die x-Achse einschließen, genau zu gleichen Teilen halbiert.
D.h. "t" muss so bestimmt werden, dass y die Fläche unter f(x) im Verhältnis 1:1 teilt.
So kann mir jemand helfen', bittE?
Bin soweit, dass ich die Integrale unter f und unter y berechnet habe, allerdings, wenn ich von das von einander abziehe etc. komme ich nicht weiter, muss ja irgendwie auf nen Wert für t kommen und da finde ich keinen richtigen Ansatz.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:http://www.chemieonline.de/forum/showthread.php?p=242010#post242010
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Hallo, gore
Du mußt die 0stellen der $f(x)$ bestimmen.
$f(x)$ zwischen diesen Integriert, ergibt die
Flächenmaszahl $A$ des Stückes das halbiert
werden soll.
Dann mußt du allgemein, also als Funktionen
von t, die Schnittpunkt [mm] $s_1,s_2$ [/mm] von $f(x)$ mit $t*x$
bestimmen und, wieder als Funktion von $t$,
$F(t) = [mm] \integral_{s_1}^{s_2}(f(x)-t*x)\,\text{dx}$
[/mm]
bestimmen und schließliche die Gleichung
$F(t) = [mm] \bruch{A}{2}$ [/mm] nach $t$ lösen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:14 Di 28.09.2004 | | Autor: | Andi |
Hallo Friedrich,
> Du mußt die 0stellen der [mm]f(x)[/mm] bestimmen.
> [mm]f(x)[/mm] zwischen diesen Integriert, ergibt die
> Flächenmaszahl [mm]A[/mm] des Stückes das halbiert
> werden soll.
> Dann mußt du allgemein, also als Funktionen
> von t, die Schnittpunkt [mm]s_1,s_2[/mm] von [mm]f(x)[/mm] mit [mm]t*x[/mm]
> bestimmen und, wieder als Funktion von [mm]t[/mm],
> [mm]F(t) = \integral_{s_1}^{s_2}(f(x)-t*x)\,\text{dx}[/mm]
Ich bin mir nicht ganz sicher aber muss man nicht das bestimmte Integral von 0 bist [mm]s_2[/mm] (das ist der Schnittpunkt der Geraden mit der Parabel welcher weiter rechts liegt) ausrechnen ?
Oder denk ich da gerade falsch ?
Wenn ich es mir überlege kommt es ja auf das selbe heraus, denn (0/0) ist ja [mm] s_1 [/mm] also hast du schon recht gehabt
> bestimmen und schließliche die Gleichung
> [mm]F(t) = \bruch{A}{2}[/mm] nach [mm]t[/mm] lösen.
Mit freundlichen Grüße,
Andi
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Hallo Gore!
Bestimmen wir zuerst die Nullstellen der Funktion:
[mm]-x^{2}+4x=0\;\;\; \gdw \;\;\;-x(x-4)=0[/mm]
die Lösungen sind:
[mm]x_{1}=0,\;\;\; x_{2}=4[/mm]
Die Gesamtfläche 2A ist:
[mm]2A=\integral_{0}^{4}{(-x^{2}+4x)dx}=\left[ -\bruch{x^{3}}{3}+2x^{2} \right]_{0}^{4}=\bruch{32}{3}[/mm]
Davon die Hälfte A ist:
[mm]A=\bruch{16}{3}[/mm]
Die Schnittpunkte der Gerade mit f(x) sind die Lösungen der Gleichung:
[mm]-x^{2}+4x=tx\;\;\; \gdw \;\;\; -x(x-(4-t))=0[/mm]
[mm]s_{1}=0,\;\;\; s_{2}=4-t[/mm]
Die gesuchte Fläche ist:
[mm]A=\integral_{0}^{4-t}{(-x^{2}+4x-tx)dx}=\left[ -\bruch{x^{3}}{3}+(4-t)*\bruch{x^{2}}{2} \right]_{0}^{4-t}=\bruch{(4-t)^{3}}{6}[/mm]
Die Gleichung für t ist, also:
[mm]\bruch{(4-t)^{3}}{6}=\bruch{16}{3}[/mm]
Die Lösung ist:
[mm]t=4-2\wurzel[3]{4}[/mm]
Ich hofe, ich habe mich nicht verrechnet.
Schöne Grüße, 
Ladis
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