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| Aufgabe | Für [mm] \alpha \in \IR [/mm] sei [mm] P_\alpha [/mm] die Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den Borleschen Mengen von [mm] \IR [/mm] mit der Dichte [mm] f_\alpha, [/mm] gegeben durch
[mm] f_\alpha(x) [/mm] = [mm] x-(\alpha-1) [/mm] für [mm] \alpha [/mm] - 1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \alpha
[/mm]
[mm] f_\alpha(x) [/mm] = [mm] (1+\alpha)- [/mm] x für [mm] \alpha \le [/mm] x [mm] \le \alpha [/mm] +1
[mm] f_\alpha(x) [/mm] = 0 für [mm] |x-\alpha|> [/mm] 1.
Geben Sie eine Testfunktion zum Niveau [mm] \beta [/mm] = 0,04 an, durch den die Hypothese [mm] \alpha_0 [/mm] = 0,5 getestet werden soll. Dabei soll die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler zweiter Art zu behen möglichst klein sein. |
In der Aufgabenstellung sind die Hypothese [mm] H_0: \alpha_0 [/mm] = 0,5 und das Signifikanzniveau [mm] \beta [/mm] = 0,04 bereits gegeben. Es liegt nahe, [mm] H_0 [/mm] dann zu verwerfen, wenn die beobachtete Stichprobe zu weit von 0,5 entfernt ist. Man konstruiert daher - für ein noch zu ermittendes T>0 - eine Testfunktion
[mm] \varphi: \IR \to [/mm] {0,1} wie folgt:
[mm] \varphi(t) [/mm] = 0 für |t| [mm] \le [/mm] T
1 für |t| >T
Dabei muss gelten:
[mm] P_0_,_5 ((-\infty; [/mm] T)(T; [mm] \infty)) \le [/mm] 0,04
Äquivalenzumformung liefert
[mm] \integral_{-T}^{T}{f(t) dt} \ge [/mm] 1-0,04 = 0,96
Ist T [mm] \le [/mm] 1,5 so liefern weitere Äquivalenzumformungen:
[mm] \integral_{-0,5T}^{0,5}{f(t) dt} +\integral_{0,5}^{1,5T}{f(t) dt}\ge [/mm] 0,96
[mm] \integral_{-0,5T}^{0,5}{(t+0,5) dt} +\integral_{0,5}^{1,5T}{(1,5-t )dt}\ge [/mm] 0,96
dann berechnen ich die Integrale und komme auf folgendes Ergebnis:
[mm] -\bruch{1}{4} -\bruch{5}{4}T^2 +\bruch{5}{2}T \ge [/mm] 0,96
[mm] -\bruch{5}{4}T^2 [/mm] + [mm] \bruch{5}{2}T [/mm] - [mm] \bruch{121}{100} [/mm] = 0
Durch die Mitternachtsformel erhalte ich [mm] T_1 [/mm] = 1,17 und [mm] T_2= [/mm] 0,82
Nun weiß ich leider nicht wie ich mit der Aufgabe fortfahren soll um meine Testfunktion aufzustellen. In vorherigen Aufgaben konnt ich ein T immer ausschließen. Aber hier sind nun beide T [mm] \le [/mm] 1,5!
Wie müsste ich nun weiter machen? Oder ist mein Ansatz schon falsch?
Vielen Dank für jeden Hilfe!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:55 Mi 02.04.2014 | | Autor: | luis52 |
Moin,
> In der Aufgabenstellung sind die Hypothese [mm]H_0: \alpha_0[/mm] =
> 0,5 und das Signifikanzniveau [mm]\beta[/mm] = 0,04 bereits gegeben.
> Es liegt nahe, [mm]H_0[/mm] dann zu verwerfen, wenn die beobachtete
> Stichprobe zu weit von 0,5 entfernt ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Besteht die Stichprobe aus *einer* Beobachtung?
> Man konstruiert daher - für ein noch zu ermittendes T>0 - eine Testfunktion [mm]\varphi: \IR \to[/mm] {0,1} wie folgt:
>
> [mm]\varphi(t)[/mm] = 0 für |t| [mm]\le[/mm] T
> 1 für |t| >T
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm]\varphi: \IR \to[/mm] {0,1} wie folgt:
[mm]\varphi(t)[/mm] = 0 für [mm] |t\red{-0.5}|[/mm] [mm]\le[/mm] T
1 für [mm] |t-\red{0.5}| [/mm] >T
Uebrigens: Du kannst den Test auch so konzipieren, dass du zwei Zahlen [mm] $t_1$ [/mm] und [mm] $t_2$ [/mm] bestimmst, so dass [mm] $\varphi(t)=1$ [/mm] fuer [mm] $t\in[t_1,t_2]$ [/mm] gilt und [mm] $\varphi(t)=0$ [/mm] sonst. Dann ergibt auch die Optimierungsaufgabe Sinn.
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